微积分学示例

$f (x) = \ln (\ln ({(5 x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

从 $5 x^{- 3}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln ({(5 (x^{- 3}))}^{\frac{1}{2}}))]$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

对 $5 (x^{- 3})$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} {(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))]$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})}))]$

解题步骤 1.2.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}}))]$

解题步骤 1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

解题步骤 2.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.3

使用 $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3

因为 $5^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}])$

解题步骤 4.4

化简项。

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解题步骤 4.4.1

组合 $5^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.4.3

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

解题步骤 8.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

解题步骤 10

组合 $x^{- \frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

解题步骤 11

将 $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ 。

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

解题步骤 12

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 12.1

移动 $x^{- \frac{5}{2}}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

解题步骤 12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x^{- \frac{5}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

解题步骤 12.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{x^{\frac{- 5 + 3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

解题步骤 12.4

将 $- 5$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{x^{\frac{- 2}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

解题步骤 12.5

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$- \frac{x^{- 1} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

解题步骤 13

将 $3$ 移到 $x^{- 1}$ 的左侧。

$- \frac{3 \cdot x^{- 1}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

解题步骤 14

将 $2$ 移到 $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 的左侧。

$- \frac{3 x^{- 1}}{2 \cdot \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$

解题步骤 15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分母。

$- \frac{3}{2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) x}$

解题步骤 16

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 。

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}^{2}) x}$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

解题步骤 17.2

对 $5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 运用乘积法则。

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

解题步骤 17.3

对 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 运用乘积法则。

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

解题步骤 17.4

合并项。

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解题步骤 17.4.1

将 ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 17.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

解题步骤 17.4.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.1.2.1

约去公因数。

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

解题步骤 17.4.1.2.2

重写表达式。

$- \frac{3}{\ln (5^{1} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

解题步骤 17.4.2

计算指数。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

解题步骤 17.4.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

解题步骤 17.4.4

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 17.4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

解题步骤 17.4.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.4.2.1

约去公因数。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

解题步骤 17.4.4.2.2

重写表达式。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{3}}) x}$

解题步骤 17.4.5

组合 $5$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$

解题步骤 17.5

将 $- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{3}{x \ln (\frac{5}{x^{3}})}$

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