微积分学示例

$f (x) = \arctan (\sqrt{x^{3}})$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{3}})]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因式分解出 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{2} x})]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1 + \frac{1}{2}})]$

解题步骤 3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

解题步骤 3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3

使用 $x^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{1 + {(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{1 + {(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 5.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 9.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{1 + x^{3}}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{3}) \cdot 2}$

解题步骤 12

将 $2$ 移到 $1 + x^{3}$ 的左侧。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x^{3})}$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 + 2 x^{3}}$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 + 2 x^{3}}$

解题步骤 13.3

重新排序项。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3} + 2}$

微积分学 示例

微积分学示例