微积分学示例

$f (x) = \arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

$\arcsin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4

将 ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

解题步骤 4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2

将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 7.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 12

合并分数。

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解题步骤 12.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 12.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 12.4

组合 $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{1 + x^{2}}$

解题步骤 13

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 14

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

解题步骤 15

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + x^{2}}$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 17

合并分数。

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解题步骤 17.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

解题步骤 17.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

解题步骤 17.3

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 21

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 22

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 23

约去公因数。

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解题步骤 23.1

从 $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 23.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 23.3

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 24

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 25

要将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 26

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 27

通过指数相加将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 27.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 27.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 27.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 27.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 28

化简 ${(1 + x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 29

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1 + 0}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 30

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 31

将 $\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

解题步骤 32

将 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

解题步骤 33

通过指数相加将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 33.1

将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 33.1.1

对 $1 + x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}$

解题步骤 33.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 33.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 33.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 33.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 34

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35

化简。

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解题步骤 35.1

对 $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.2

合并项。

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解题步骤 35.2.1

将 ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 35.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 35.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{1}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.2.2

化简。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.2.5

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 35.3

重新排序项。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}}$

解题步骤 35.4

化简分母。

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解题步骤 35.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

解题步骤 35.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

解题步骤 35.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}$

解题步骤 35.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 35.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}}$

解题步骤 35.4.4.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}}$

解题步骤 35.4.4.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}}$

解题步骤 35.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}}$

解题步骤 35.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}}$

解题步骤 35.4.4.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 35.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

解题步骤 35.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 35.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 35.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 35.4.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 35.4.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}}$

解题步骤 35.4.4.6.5

化简。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.5

组合 ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6

化简分子。

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解题步骤 35.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 + 1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{4}{2}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 35.6.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 35.6.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{1}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.6.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 35.7.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

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解题步骤 35.7.1.1

从 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 35.7.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

解题步骤 35.7.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

解题步骤 35.7.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1 + x^{2}}{1}}$

解题步骤 35.7.2

用 $1 + x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

微积分学 示例

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