微积分学示例

$F (x) = \arcsin (\sqrt{\sin (x)})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\sin (x)}$ 重写成 ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\arcsin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

将 ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{1} (x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

化简。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 10.4

将 $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}}$ 。

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (x)}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 11

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (x)}} \cos (x)$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (x)}}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (x)}}$

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