微积分学示例

$f (x) = \sin (x) - \tan (x) + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sin (x) - \tan (x) + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.4

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 5.8

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ 。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 6.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.4.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.7

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.7.2.2

约去公因数。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.7.2.3

重写表达式。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.10

在公分母上合并分子。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.11

化简分子。

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解题步骤 6.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.12

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.14

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.15

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.15.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.15.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.15.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.15.4

在公分母上合并分子。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.15.5

化简分子。

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解题步骤 6.15.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.15.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.15.6

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.17

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.18

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.19

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $0$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

解题步骤 6.20

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.2.2

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \sec^{2} (x)$

解题步骤 7.4

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 7.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.3

一的任意次幂都为一。

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 7.5.2

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 7.5.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \sec^{2} (x)$

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