微积分学示例

$f (x) = \sin (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \sec^{2} (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3

将 $2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$2 \cdot \sin (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$2 \sin (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 5

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 6

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sin (x) {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

重新排序项。

$2 \sec^{2} (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.3

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.5

组合 $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.6

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.7

合并。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.8

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 10.2.8.1

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 10.2.8.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.8.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.9

化简分子。

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解题步骤 10.2.9.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.9.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 10.2.10

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

解题步骤 10.2.11

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 10.2.12

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.12.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

解题步骤 10.2.12.2

约去公因数。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

解题步骤 10.2.12.3

重写表达式。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

解题步骤 10.2.13

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1

乘以 $1$ 。

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3.2

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3.3

分离分数。

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3.4

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3.6

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{2}{1} \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3.8

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10.3.9

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x)$

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