微积分学示例

$f (x) = \sin (\sec (3 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \sec (3 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sec (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (\sec (3 x)) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\cos (\sec (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 移到 $\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x)$ 的左侧。

$3 \cdot (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\sec (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

解题步骤 4.2

乘以 $3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}$ 。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{\cos (3 x)} \cos (\sec (3 x)) \tan (3 x)$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{3}{\cos (3 x)}$ 和 $\cos (\sec (3 x))$ 。

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

解题步骤 4.3

将 $\tan (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

解题步骤 4.4

乘以 $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ 乘以 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

解题步骤 4.4.2

对 $\cos (3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}$

解题步骤 4.4.3

对 $\cos (3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$

解题步骤 4.5

从 $\cos^{2} (3 x)$ 中分解出因数 $\cos (3 x)$ 。

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

解题步骤 4.6

分离分数。

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$

解题步骤 4.7

将 $\frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

解题步骤 4.8

将 $\cos (\sec (3 x))$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\frac{\cos (\sec (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)})$

解题步骤 4.9

化简。

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解题步骤 4.9.1

用 $\cos (\sec (3 x))$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

解题步骤 4.9.2

将 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\sec (3 x)$ 。

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

解题步骤 4.10

分离分数。

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

解题步骤 4.11

将 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\tan (3 x)$ 。

$\frac{3}{1} \tan (3 x) (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

解题步骤 4.12

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 \tan (3 x) \cos (\sec (3 x)) \sec (3 x)$

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