微积分学示例

$f (x) = \sin (\sec (\arccos (x)))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arccos (x))$ 为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.2

组合 $\cos (\frac{1}{x})$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

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