微积分学示例

$f (x) = \ln (\tan (x) \cdot \tan (x))$

解题步骤 1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{1} (x) \cdot \tan (x))]$

解题步骤 2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{1} (x) \cdot \tan^{1} (x))]$

解题步骤 3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\ln ({\tan (x)}^{1 + 1})]$

解题步骤 4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{2} (x))]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 5.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 5.3

使用 $\tan^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 7

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 9

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 10.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cot^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 10.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cot^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 11

将 $2$ 移到 $\cot^{2} (x)$ 的左侧。

$2 \cdot \cot^{2} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 12

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 \cot^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 13

重新排序 $2 \cot^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$2 \cot^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x)$

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