微积分学示例

$f (x) = \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 1.2

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{2 + 1} \tan (x)]$

解题步骤 1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{3} (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$\sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $\sec^{3} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sec (x)}^{3 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\sec^{5} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 5.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 6

将 $3$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$\sec^{5} (x) + 3 \cdot \tan (x) \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 7

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec^{5} (x) + 3 \tan (x) \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 8

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{5} (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 9

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{5} (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{5} (x) + 3 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 12

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))$

解题步骤 13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2}$

解题步骤 14

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)$

解题步骤 15

重新排序项。

$3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{5} (x)$

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