微积分学示例

$f (x) = \ln (x) \cdot \log_{5} (\sin (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \log_{5} (\sin (x))$ 。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\log_{5} (\sin (x))] + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{5} (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2

$\log_{5} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (5)}$ 。

$\ln (x) (\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (x) (\frac{1}{\sin (x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{\sin (x) \ln (5)}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)} \cos (x) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 5

组合 $\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 6

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \log_{5} (\sin (x)) \frac{1}{x}$

解题步骤 7

组合 $\log_{5} (\sin (x))$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \frac{\log_{5} (\sin (x))}{x}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

重新排序项。

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)}$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

分离分数。

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)} \cot (x)$

解题步骤 8.2.3

组合 $\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ 和 $\cot (x)$ 。

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x) \cot (x)}{\ln (5)}$

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