微积分学示例

$f (x) = \ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + 5$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{1}{x + 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x + 5} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 2.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x + 5} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x + 5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{x + 5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x - 1$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.7

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{1}{2 x - 1}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ 。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $4 - x$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{3}}$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1)$

解题步骤 4.7

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \cdot - 1$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{1}{4 - x}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{- 1}{4 - x}$

解题步骤 4.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 5

合并项。

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解题步骤 5.1

要将 $\frac{1}{x + 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 5.2

要将 $\frac{2}{2 x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 5) (2 x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{1}{x + 5}$ 乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{2}{2 x - 1}$ 乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 5.3.3

重新排序 $(x + 5) (2 x - 1)$ 的因式。

$\frac{2 x - 1}{(2 x - 1) (x + 5)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 5.5

要将 $\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 - x}{4 - x}$ 。

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 5.6

要将 $- \frac{1}{4 - x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ 。

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ 的形式。

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解题步骤 5.7.1

将 $\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{4 - x}{4 - x}$ 。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.7.2

将 $\frac{1}{4 - x}$ 乘以 $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ 。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

解题步骤 5.7.3

重新排序 $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ 的因式。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

解题步骤 5.7.4

重新排序 $(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))$ 的因式。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$

解题步骤 5.8

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x) - (2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$

微积分学 示例

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