微积分学示例

$f (x) = \log (arcsec (\sqrt{x}))$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\log (arcsec (x^{\frac{1}{2}}))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2.2

$\log (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2.3

使用 $arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arcsec (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [arcsec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

$arcsec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1}}$ 乘以 $\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 12

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)) \cdot 2}$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))$ 的左侧。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)))}$

解题步骤 15.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16

化简分母。

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解题步骤 16.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 16.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

解题步骤 16.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

解题步骤 16.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

解题步骤 16.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

解题步骤 16.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2 x^{1} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

解题步骤 16.2

化简 $2 x^{1} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))$ 。

$\frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

解题步骤 17

重新排序项。

$\frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)}$

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