微积分学示例

$f (z) = z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$

解题步骤 1

根据加法法则， $z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ 。

$\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = z^{2}$ 且 $g (z) = z + 4$ 。

$z^{2} \frac{d}{d z} [z + 4] + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $z + 4$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]$ 。

$z^{2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$z^{2} (1 + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 2.4

因为 $4$ 对于 $z$ 是常数，所以 $4$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$z^{2} \cdot 1 + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 2.7

将 $z^{2}$ 乘以 $1$ 。

$z^{2} + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 2.8

将 $2$ 移到 $z + 4$ 的左侧。

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ 对 $z$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 等于 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ，其中 $f (z) = z$ 且 $g (z) = z^{2} + 1$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z] - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $z^{2} + 1$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $z^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $2 z$ 和 $0$ 相加。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z \cdot z}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z^{1})}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{1 + 1}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.14

从 $z^{2}$ 中减去 $2 z^{2}$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.15

组合 $- 2$ 和 $\frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{- 2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.16

将负号移到分数的前面。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$z^{2} + (2 z + 2 \cdot 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$z^{2} + 2 (z^{1} z) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$z^{2} + 2 (z^{1} z^{1}) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$z^{2} + 2 z^{1 + 1} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$z^{2} + 2 z^{2} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$z^{2} + 2 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.6

将 $z^{2}$ 和 $2 z^{2}$ 相加。

$3 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.9

要将 $3 z^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}} - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.10

在公分母上合并分子。

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2} - (- 2 z^{2} + 2)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

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