微积分学示例

$f (z) = \frac{2 \cos (z)}{z + 1}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $z$ 是常数，所以 $\frac{2 \cos (z)}{z + 1}$ 对 $z$ 的导数是 $2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$ 。

$2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 等于 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ，其中 $f (z) = \cos (z)$ 且 $g (z) = z + 1$ 。

$2 \frac{(z + 1) \frac{d}{d z} [\cos (z)] - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

$\cos (z)$ 对 $z$ 的导数为 $- \sin (z)$ 。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $z + 1$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ 。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + 0)}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

合并分数。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \cdot 1}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

组合 $2$ 和 $\frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 ((z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{2 (z (- \sin (z)) + 1 (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{2 (z (- \sin (z))) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 (- z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 (z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

将 $- \sin (z)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 z \sin (z) + 2 (- \sin (z)) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) - 2 \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$

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