微积分学示例

$f (z) = (z^{14} + z^{7} + 1) (z^{8} - z)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = z^{14} + z^{7} + 1$ 且 $g (z) = z^{8} - z$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) \frac{d}{d z} [z^{8} - z] + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $z^{8} - z$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [- z]$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (\frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} + \frac{d}{d z} [- z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- z$ 对 $z$ 的导数是 $- \frac{d}{d z} [z]$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - \frac{d}{d z} [z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1 \cdot 1) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $z^{14} + z^{7} + 1$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z^{14}] + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1]$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (\frac{d}{d z} [z^{14}] + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 14$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6} + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.9

因为 $1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6} + 0)$

解题步骤 2.10

将 $14 z^{13} + 7 z^{6}$ 和 $0$ 相加。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

解题步骤 3.1.2

从 $(z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + 1 ((z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + 1 ((z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$

解题步骤 3.2

将 $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ 乘以 $1$ 。

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(8 z^{7} - 1) (z^{14} + z^{7} + 1) + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(8 z^{7} - 1) (z^{14} + z^{7} + 1)$ 。

$8 z^{7} z^{14} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

通过指数相加将 $z^{7}$ 乘以 $z^{14}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

移动 $z^{14}$ 。

$8 (z^{14} z^{7}) + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 z^{14 + 7} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 $14$ 和 $7$ 相加。

$8 z^{21} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.2

通过指数相加将 $z^{7}$ 乘以 $z^{7}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

移动 $z^{7}$ 。

$8 z^{21} + 8 (z^{7} z^{7}) + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 z^{21} + 8 z^{7 + 7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.2.3

将 $7$ 和 $7$ 相加。

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.4

将 $- 1 z^{14}$ 重写为 $- z^{14}$ 。

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.5

将 $- 1 z^{7}$ 重写为 $- z^{7}$ 。

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.3

从 $8 z^{14}$ 中减去 $z^{14}$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 8 z^{7} - z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.4

从 $8 z^{7}$ 中减去 $z^{7}$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.5

使用 FOIL 方法展开 $(14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

运用分配律。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} (z^{8} - z) + 7 z^{6} (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.5.2

运用分配律。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} z^{8} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} (z^{8} - z)$

解题步骤 3.4.5.3

运用分配律。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} z^{8} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.6.1.1

通过指数相加将 $z^{13}$ 乘以 $z^{8}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.1.1

移动 $z^{8}$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 (z^{8} z^{13}) + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{8 + 13} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.1.3

将 $8$ 和 $13$ 相加。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{13} z + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.3

通过指数相加将 $z^{13}$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.3.1

移动 $z$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 (z \cdot z^{13}) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.3.2

将 $z$ 乘以 $z^{13}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.3.2.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 (z^{1} z^{13}) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{1 + 13} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.3.3

将 $1$ 和 $13$ 相加。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{14} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.4

将 $14$ 乘以 $- 1$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.5

通过指数相加将 $z^{6}$ 乘以 $z^{8}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.5.1

移动 $z^{8}$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 (z^{8} z^{6}) + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{8 + 6} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.5.3

将 $8$ 和 $6$ 相加。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 z^{6} (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{6} z$

解题步骤 3.4.6.1.7

通过指数相加将 $z^{6}$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.7.1

移动 $z$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 (z \cdot z^{6})$

解题步骤 3.4.6.1.7.2

将 $z$ 乘以 $z^{6}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.7.2.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 (z^{1} z^{6})$

解题步骤 3.4.6.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{1 + 6}$

解题步骤 3.4.6.1.7.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{7}$

解题步骤 3.4.6.1.8

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} - 7 z^{7}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $- 14 z^{14}$ 和 $7 z^{14}$ 相加。

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{14} - 7 z^{7}$

解题步骤 3.5

合并 $8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{14} - 7 z^{7}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.1

从 $7 z^{14}$ 中减去 $7 z^{14}$ 。

$8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 0 - 7 z^{7}$

解题步骤 3.5.2

将 $8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21}$ 和 $0$ 相加。

$8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{7}$

解题步骤 3.5.3

从 $7 z^{7}$ 中减去 $7 z^{7}$ 。

$8 z^{21} - 1 + 14 z^{21} + 0$

解题步骤 3.5.4

将 $8 z^{21} - 1 + 14 z^{21}$ 和 $0$ 相加。

$8 z^{21} - 1 + 14 z^{21}$

解题步骤 3.6

将 $8 z^{21}$ 和 $14 z^{21}$ 相加。

$22 z^{21} - 1$

微积分学 示例

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