微积分学示例

$f (z) = 3 x y^{4} + \ln (4 x z^{2}) - 6 x y z^{2} + 6 y z$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 x y^{4} + \ln (4 x z^{2}) - 6 x y z^{2} + 6 y z$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x y^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3 y^{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{4} + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x z^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x z^{2}$ 。

$3 y^{4} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.1.3

使用 $4 x z^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.2

因为 $4 z^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x z^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 z^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.5

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4 x z^{2}}$ 。

$3 y^{4} + \frac{4}{4 x z^{2}} z^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{4}{4 x z^{2}}$ 和 $z^{2}$ 。

$3 y^{4} + \frac{4 z^{2}}{4 x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

约去公因数。

$3 y^{4} + \frac{4 z^{2}}{4 x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.7.2

重写表达式。

$3 y^{4} + \frac{z^{2}}{x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.8

约去 $z^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

约去公因数。

$3 y^{4} + \frac{z^{2}}{x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 3.8.2

重写表达式。

$3 y^{4} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 6 y z^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x y z^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 y z^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 4.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} + \frac{d}{d x} [6 y z]$

解题步骤 5

因为 $6 y z$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 y z$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} + 0$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2}$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$3 y^{4} - 6 z^{2} y + \frac{1}{x}$

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