微积分学示例

$f (x) = y \ln (x y) + 1$

解题步骤 1

根据加法法则， $y \ln (x y) + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y \ln (x y)] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y \ln (x y)] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [y \ln (x y)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = \ln (x y)$ 。

$y \frac{d}{d y} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = x y$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (\frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$y (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (\frac{1}{x y} (x \cdot 1)) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (\frac{1}{x y} (x \cdot 1)) + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y (\frac{1}{x y} x) + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{1}{x y}$ 和 $x$ 。

$y \frac{x}{x y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

约去公因数。

$y \frac{x}{x y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.8.2

重写表达式。

$y \frac{1}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.9

组合 $y$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{y}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.10

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.1

约去公因数。

$\frac{y}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.10.2

重写表达式。

$1 + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.11

将 $\ln (x y)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \ln (x y) + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + \ln (x y) + 0$

解题步骤 3.2

将 $1 + \ln (x y)$ 和 $0$ 相加。

$1 + \ln (x y)$

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