微积分学示例

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

解题步骤 1

根据加法法则， $x {(x - 4)}^{3} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 4$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.9

将 ${(x - 4)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ 和 $0$ 相加。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

使用二项式定理。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.4

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.3

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

解题步骤 4.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

运用分配律。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

解题步骤 4.3.4.2

运用分配律。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

解题步骤 4.3.4.3

运用分配律。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

解题步骤 4.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

解题步骤 4.3.5.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

解题步骤 4.3.5.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

解题步骤 4.3.5.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

解题步骤 4.3.6

运用分配律。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

解题步骤 4.3.7.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

解题步骤 4.3.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

解题步骤 4.3.7.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

解题步骤 4.3.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

解题步骤 4.3.7.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

解题步骤 4.3.8

化简每一项。

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解题步骤 4.3.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.8.1.1

移动 $x$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

解题步骤 4.3.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

解题步骤 4.3.8.2

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

解题步骤 4.4

将 $x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

解题步骤 4.5

从 $- 12 x^{2}$ 中减去 $24 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

解题步骤 4.6

将 $48 x$ 和 $48 x$ 相加。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

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