微积分学示例

$f (x) = x (1 - \frac{4}{x + 3})$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{x + 3})]$

解题步骤 1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [x \frac{x + 3 - 4}{x + 3}]$

解题步骤 1.3

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [x \frac{x - 1}{x + 3}]$

解题步骤 1.4

组合 $x$ 和 $\frac{x - 1}{x + 3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 1)}{x + 3}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x - 1)$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x (x - 1)] - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$\frac{(x + 3) (x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x + 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 3) (x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 3) (x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \cdot 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.6.1

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 3) (x + x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.7

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.10

化简表达式。

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解题步骤 4.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.1.3

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 x^{2} - x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.1.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.2

将 $- x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + 1 x}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + x}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 5 x - 3 + x}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.3

将 $5 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 6 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$

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