微积分学示例

$f (x) = x (200 - (\frac{x}{30})) - (61000 + 80 x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $x (200 - \frac{x}{30}) - (61000 + 80 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x (200 - \frac{x}{30})] + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x (200 - \frac{x}{30})] + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x (200 - \frac{x}{30})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 200 - \frac{x}{30}$ 。

$x \frac{d}{d x} [200 - \frac{x}{30}] + (200 - \frac{x}{30}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $200 - \frac{x}{30}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [200] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{30}]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [200] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{30}]) + (200 - \frac{x}{30}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.3

因为 $200$ 对于 $x$ 是常数，所以 $200$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{30}]) + (200 - \frac{x}{30}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.4

因为 $- \frac{1}{30}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{30}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{30} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (0 - \frac{1}{30} \frac{d}{d x} [x]) + (200 - \frac{x}{30}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (0 - \frac{1}{30} \cdot 1) + (200 - \frac{x}{30}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (0 - \frac{1}{30} \cdot 1) + (200 - \frac{x}{30}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (0 - \frac{1}{30}) + (200 - \frac{x}{30}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.8

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{30}$ 。

$x (- \frac{1}{30}) + (200 - \frac{x}{30}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.9

组合 $x$ 和 $\frac{1}{30}$ 。

$- \frac{x}{30} + (200 - \frac{x}{30}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.10

将 $200 - \frac{x}{30}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x}{30} + 200 - \frac{x}{30} + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.11

从 $- \frac{x}{30}$ 中减去 $\frac{x}{30}$ 。

$- 2 \frac{x}{30} + 200 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.12

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{30}$ 。

$\frac{- 2 x}{30} + 200 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.13

约去 $- 2$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 2.13.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{30} + 200 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 2.13.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 (15)} + 200 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.13.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 15} + 200 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.13.2.3

重写表达式。

$\frac{- x}{15} + 200 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 2.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{15} + 200 + \frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- (61000 + 80 x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (61000 + 80 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [61000 + 80 x]$ 。

$- \frac{x}{15} + 200 - \frac{d}{d x} [61000 + 80 x]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $61000 + 80 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [61000] + \frac{d}{d x} [80 x]$ 。

$- \frac{x}{15} + 200 - (\frac{d}{d x} [61000] + \frac{d}{d x} [80 x])$

解题步骤 3.3

因为 $61000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $61000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{x}{15} + 200 - (0 + \frac{d}{d x} [80 x])$

解题步骤 3.4

因为 $80$ 对于 $x$ 是常数，所以 $80 x$ 对 $x$ 的导数是 $80 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{x}{15} + 200 - (0 + 80 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x}{15} + 200 - (0 + 80 \cdot 1)$

解题步骤 3.6

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x}{15} + 200 - (0 + 80)$

解题步骤 3.7

将 $0$ 和 $80$ 相加。

$- \frac{x}{15} + 200 - 1 \cdot 80$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 乘以 $80$ 。

$- \frac{x}{15} + 200 - 80$

解题步骤 4

从 $200$ 中减去 $80$ 。

$- \frac{x}{15} + 120$

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