微积分学示例

$f (x) = x \cdot | x - 1 | + x + 1$

解题步骤 1

根据加法法则， $x \cdot | x - 1 | + x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = | x - 1 |$ 。

$x \frac{d}{d x} [| x - 1 |] + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$x (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$x (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + 0)) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + 0)) + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} \cdot 1) + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.8

将 $\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{x - 1}{| x - 1 |} + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.9

组合 $x$ 和 $\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ 。

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.10

将 $| x - 1 |$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + | x - 1 | + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.11

要将 $| x - 1 |$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| x - 1 |}{| x - 1 |}$ 。

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + \frac{| x - 1 | | x - 1 |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{x (x - 1) + | x - 1 | | x - 1 |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.13

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{x (x - 1) + | (x - 1) (x - 1) |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.14

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1} (x - 1) |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.15

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1 + 1} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

解题步骤 4.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

解题步骤 4.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 1} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

解题步骤 4.2.5

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

解题步骤 4.2.6

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

解题步骤 4.2.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + \frac{| x - 1 |}{| x - 1 |} + 0$

解题步骤 4.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |} + 0$

解题步骤 4.2.9

将 $\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |}$

微积分学 示例

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