微积分学示例

$f (x) = x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$

解题步骤 1

根据加法法则， $x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}] + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.4

因为 $50$ 对于 $x$ 是常数，所以 $50$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.5

因为 $- 0.1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$x (0 - 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.10

在公分母上合并分子。

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.11

化简分子。

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解题步骤 2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.12

将负号移到分数的前面。

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (0 - 0.1 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.14

组合 $- 0.1$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$x (0 + \frac{- 0.1 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (0 + \frac{- 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.16

将负号移到分数的前面。

$x (0 - \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.17

从 $0$ 中减去 $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x (- \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.18

组合 $x$ 和 $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x \cdot 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.19

将 $0.1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{0.1 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.20

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$- \frac{0.1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.21

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.21.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.21.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.21.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.21.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.21.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.21.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{0.1 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.21.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.22

将 $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.23

要将 $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.24

组合 $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.25

在公分母上合并分子。

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.26

将 $2$ 乘以 $- 0.1$ 。

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.27

从 $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $0.2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 2.28

将负号移到分数的前面。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (35 x + 500)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [35 x + 500]$ 。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - \frac{d}{d x} [35 x + 500]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $35 x + 500$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500]$ 。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500])$

解题步骤 3.3

因为 $35$ 对于 $x$ 是常数，所以 $35 x$ 对 $x$ 的导数是 $35 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [500])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [500])$

解题步骤 3.5

因为 $500$ 对于 $x$ 是常数，所以 $500$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 3.6

将 $35$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 + 0)$

解题步骤 3.7

将 $35$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 1 \cdot 35$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 乘以 $35$ 。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 35$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $50$ 中减去 $35$ 。

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 15$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$15 - \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

从 $0.3 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $0.3$ 。

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 4.3.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 4.3.3

分离分数。

$15 - (\frac{0.3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

解题步骤 4.3.4

用 $0.3$ 除以 $2$ 。

$15 - (0.15 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

解题步骤 4.3.5

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$15 - (0.15 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.3.6

将 $0.15$ 乘以 $- 1$ 。

$15 - 0.15 x^{\frac{1}{2}}$

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