微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{x - x^{8}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - x^{8}}$ 重写成 ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - x^{8}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - x^{8}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用 $x - x^{8}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{{(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9

根据加法法则， $x - x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ 。

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 。

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (8 x^{7})) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 15

将 ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

重新排序项。

$(1 - 8 x^{7}) \frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 16.2

将 $1 - 8 x^{7}$ 乘以 $\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 16.3

要将 ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4

组合 ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.5

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6

化简分子。

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解题步骤 16.6.1

运用分配律。

$\frac{1 x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.3

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 16.6.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x - 8 (x \cdot x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 16.6.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x - 8 (x^{1} x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - 8 x^{1 + 7} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.3.3

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.4

通过指数相加将 ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 16.6.4.1

移动 ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.4.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{1} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.5

化简 ${(x - x^{8})}^{1} \cdot 2$ 。

$\frac{x - 8 x^{8} + (x - x^{8}) \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.6

运用分配律。

$\frac{x - 8 x^{8} + x \cdot 2 - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.9

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{- 8 x^{8} + 3 x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.10

从 $- 8 x^{8}$ 中减去 $2 x^{8}$ 。

$\frac{- 10 x^{8} + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.11

从 $- 10 x^{8} + 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 16.6.11.1

从 $- 10 x^{8}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 10 x^{7}) + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.11.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.11.3

从 $x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 10 x^{7} + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.7

从 $- 10 x^{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (10 x^{7}) + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.8

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{x (- (10 x^{7}) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.9

从 $- (10 x^{7}) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.10

将 $- (10 x^{7} - 3)$ 重写为 $- 1 (10 x^{7} - 3)$ 。

$\frac{x (- 1 (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x (10 x^{7} - 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

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