微积分学示例

$f (x) = arcsec (x) - 2 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $arcsec (x) - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2

$arcsec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 重写成 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.5.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.6

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.12

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.13

化简分子。

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解题步骤 2.2.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.14

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.15

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.17

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.18

组合 $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.20

约去公因数。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.21

重写表达式。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.22

组合 $x$ 和 $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.23

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.24

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.26

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.27

将 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.28

要将 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.29

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.30

通过指数相加将 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.30.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.30.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.30.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.30.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.31

化简 ${(x^{2} - 1)}^{1}$ 。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.32

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.33

组合 $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{2} - 1) {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.34

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

对 $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 0$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

解题步骤 2.4.2.1.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

解题步骤 2.4.2.2

化简。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

解题步骤 2.4.2.3

通过指数相加将 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

移动 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $x^{2} - 1$ 乘以 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1

对 $x^{2} - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3.4

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.4

将 $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$

解题步骤 2.4.3

将 $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 = 0$

解题步骤 4

化简 $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$ 。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1^{2}}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.2

将 $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.2

移动 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.3

对 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.4

对 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.7

将 ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 重写成 ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.3.7.5

化简。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4

化简分母。

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解题步骤 4.1.4.1

重写。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.2

移动 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.3

对 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.4

对 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.7

将 ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 重写成 ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.7.5

化简。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 2 = 0$

解题步骤 4.1.4.8

去掉多余的括号。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 4.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.3

化简项。

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解题步骤 4.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x^{2} - 2 x) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x^{2} - 2 x) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.4.4.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} (x - 1) - 2 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.4.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.4.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 0 + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 4.4.5.3

将 $- 2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 5

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 1.09868411$

解题步骤 6

计算在 $x = 1.09868411$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 {(1.09868411)}^{2} - 1}{{(1.09868411)}^{2} {({(1.09868411)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $1.09868411$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2 \cdot 1.20710678 - 1}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.1.2

将 $2$ 乘以 $1.20710678$ 。

$- \frac{2.41421356 - 1}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.1.3

从 $2.41421356$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1.41421356}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

对 $1.09868411$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.2.2

对 $1.09868411$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 {(1.20710678 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.2.3

从 $1.20710678$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.20710678}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.2.4

将 $0.20710678$ 重写为 ${0.45508986}^{2}$ 。

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {({0.45508986}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.2.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 7.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.6.1

约去公因数。

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 7.2.6.2

重写表达式。

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{3}}$

解题步骤 7.2.7

对 $0.45508986$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot 0.09425219}$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $1.20710678$ 乘以 $0.09425219$ 。

$- \frac{1.41421356}{0.11377246}$

解题步骤 7.3.2

用 $1.41421356$ 除以 $0.11377246$ 。

$- 1 \cdot 12.43019179$

解题步骤 7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $12.43019179$ 。

$- 12.43019179$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1.09868411$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1.09868411$ 是一个极大值

解题步骤 9

求 $x = 1.09868411$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $1.09868411$ 替换变量 $x$ 。

$f (1.09868411) = arcsec (1.09868411) - 2 \cdot 1.09868411$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

计算 $arcsec (1.09868411)$ 。

$f (1.09868411) = 0.42707858 - 2 \cdot 1.09868411$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1.09868411$ 。

$f (1.09868411) = 0.42707858 - 2.19736822$

解题步骤 9.2.2

从 $0.42707858$ 中减去 $2.19736822$ 。

$f (1.09868411) = - 1.77028964$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $- 1.77028964$ 。

$y = - 1.77028964$

解题步骤 10

这些是 $f (x) = arcsec (x) - 2 x$ 的局部极值。

$(1.09868411, - 1.77028964)$ 是一个局部最大值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例