微积分学示例

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $a x - 3 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [a x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.3.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.3.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.1

约去公因数。

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.3.6.2

重写表达式。

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.3.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$a - 3 (1 + \ln (x))$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

解题步骤 1.4.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$a - 3 - 3 \ln (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $a - 3 - 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

解题步骤 2.1.2

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

解题步骤 2.1.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

解题步骤 2.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

解题步骤 2.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

解题步骤 2.2.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

解题步骤 2.3

合并项。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

解题步骤 2.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{3}{x}$ 。

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $a x - 3 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [a x]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 4.1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.6.1

约去公因数。

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.6.2

重写表达式。

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$a - 3 (1 + \ln (x))$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

运用分配律。

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

解题步骤 4.1.4.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $a - 3 - 3 \ln (x)$ 。

$a - 3 - 3 \ln (x)$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $\ln (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $a$ 。

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

解题步骤 5.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

解题步骤 5.3

将 $- 3 \ln (x) = - a + 3$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 3 \ln (x) = - a + 3$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

解题步骤 5.3.3.1.2

用 $3$ 除以 $- 3$ 。

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

解题步骤 5.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

解题步骤 5.5

使用对数的定义将 $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

解题步骤 5.6

将方程重写为 $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ 。

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 6.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

解题步骤 8

计算在 $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

解题步骤 9

化简分母。

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解题步骤 9.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

解题步骤 9.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 9.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 9.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

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