微积分学示例

$f (x) = \arcsin (x) - 2 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\arcsin (x) - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2

$\arcsin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3.3

使用 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.5

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.9

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.9.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.9.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.9.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.12

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.13

化简分子。

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解题步骤 2.2.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.14

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.15

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.16

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.17

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.18

组合 $- 2$ 和 $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.19

组合 $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.21

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.22

约去公因数。

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解题步骤 2.2.22.1

从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.22.2

约去公因数。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.22.3

重写表达式。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.23

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.24

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.25

将 ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.26

组合 ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ 和 $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- 1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.27

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.28

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.28.1

将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.28.1.1

对 $1 - x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.28.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.28.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.28.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.28.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 = 0$

解题步骤 4

求解 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$

解题步骤 4.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$\sqrt{1 - x^{2}}, 1$

解题步骤 4.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$\sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ 中的每一项乘以 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ 中的每一项乘以 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.4

求解方程。

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解题步骤 4.4.1

将方程重写为 $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ 。

$2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$

解题步骤 4.4.2

将 $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.2.1.2

用 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6

化简方程的两边。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - x^{2})}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

化简。

$1 - x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$1 - x^{2} = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 - x^{2} = \frac{1}{2^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - x^{2} = \frac{1}{4}$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1$

解题步骤 7.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- x^{2} = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.1.4

在公分母上合并分子。

$- x^{2} = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.1.5

化简分子。

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解题步骤 7.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- x^{2} = \frac{1 - 4}{4}$

解题步骤 7.1.5.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- x^{2} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 7.1.6

将负号移到分数的前面。

$- x^{2} = - \frac{3}{4}$

解题步骤 7.2

将 $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

解题步骤 7.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $\frac{3}{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{3}{4}$

解题步骤 7.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 7.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 7.4.2

化简分母。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 7.4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.1

合并。

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3

化简分母。

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解题步骤 9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1.1

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.1.2.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.4

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.5

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 9.3.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 9.3.7

化简分母。

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解题步骤 9.3.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 9.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

解题步骤 9.3.7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.7.3.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

解题步骤 9.3.7.3.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{3}}}$

解题步骤 9.3.7.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 9.4

化简项。

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解题步骤 9.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{8}}$

解题步骤 9.4.2

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 (1)}{8}}$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

解题步骤 9.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

解题步骤 9.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 9.5

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{3} \cdot 4$

解题步骤 9.6

将 $4$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$4 \sqrt{3}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 11.2.1.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 11.2.1.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $\frac{π}{3} - \sqrt{3}$ 。

$y = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.2.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 13.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 13.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.4.4.1

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.4.4.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.4.5

计算指数。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.4

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.5

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 13.2.6

一的任意次幂都为一。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 13.2.7

化简分母。

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解题步骤 13.2.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 13.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

解题步骤 13.2.7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.7.3.1

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

解题步骤 13.2.7.3.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{3}}}$

解题步骤 13.2.7.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

解题步骤 13.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} (1 \cdot 8)$

解题步骤 13.3.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

解题步骤 13.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot 8$

解题步骤 13.3.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 (4))$

解题步骤 13.3.3.3

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 13.3.3.4

重写表达式。

$- \sqrt{3} \cdot 4$

解题步骤 13.3.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \sqrt{3}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.1.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.2.3

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.2.1.2.4

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

解题步骤 15.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 1 \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.1.4

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.2

最终答案为 $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ 。

$y = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = \arcsin (x) - 2 x$ 的局部极值。

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{π}{3} - \sqrt{3})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{π}{3} + \sqrt{3})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例