微积分学示例

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\cos (x) + 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \sin (x) + 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \cos (x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 4

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5

分离分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

约去公因数。

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9

分离分数。

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 11

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

解题步骤 12

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + 2 = 0$

解题步骤 13

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- \tan (x) = - 2$

解题步骤 14

将 $- \tan (x) = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 14.1

将 $- \tan (x) = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 14.2

化简左边。

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解题步骤 14.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 14.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 14.3

化简右边。

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解题步骤 14.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 2$

解题步骤 15

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (2)$

解题步骤 16

化简右边。

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解题步骤 16.1

计算 $\arctan (2)$ 。

$x = 1.10714871$

解题步骤 17

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

解题步骤 18

求解 $x$ 。

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解题步骤 18.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

解题步骤 18.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

解题步骤 18.3

将 $3.14159265$ 和 $1.10714871$ 相加。

$x = 4.24874137$

解题步骤 19

方程 $x = 1.10714871$ 的解。

$x = 1.10714871, 4.24874137$

解题步骤 20

计算在 $x = 1.10714871$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \cos (1.10714871) - 2 \sin (1.10714871)$

解题步骤 21

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1.10714871$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1.10714871$ 是一个极大值

解题步骤 22

求 $x = 1.10714871$ 时的 y 值。

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解题步骤 22.1

使用表达式中的 $1.10714871$ 替换变量 $x$ 。

$f (1.10714871) = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

解题步骤 22.2

最终答案为 $\cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$ 。

$y = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

解题步骤 23

计算在 $x = 4.24874137$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \cos (4.24874137) - 2 \sin (4.24874137)$

解题步骤 24

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 4.24874137$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 4.24874137$ 是一个极小值

解题步骤 25

求 $x = 4.24874137$ 时的 y 值。

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解题步骤 25.1

使用表达式中的 $4.24874137$ 替换变量 $x$ 。

$f (4.24874137) = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

解题步骤 25.2

最终答案为 $\cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$ 。

$y = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

解题步骤 26

这些是 $f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$ 的局部极值。

$(1.10714871, \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871))$ 是一个局部最大值

$(4.24874137, \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137))$ 是一个局部最小值

解题步骤 27

微积分学 示例

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