微积分学示例

$f (x) = 8 \sec (x) + 4 \tan (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $8 \sec (x) + 4 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sec (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.5

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.6

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.7

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.3.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 2.3.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

解题步骤 2.3.5

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

解题步骤 2.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

解题步骤 2.3.8

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x) + 8 \sec^{3} (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

计算在 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$8 \tan^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \sec (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \tan (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{3} (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

解题步骤 6

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 7

微积分学 示例

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