微积分学示例

$f (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

解题步骤 2

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 1 - \sin (x)$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $1 - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 相加。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5.5

乘。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 8

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11

将 $\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)}$ 乘以 $\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$ 。

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{(1 - \sin (x)) {(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 12

通过指数相加将 $1 - \sin (x)$ 乘以 ${(1 - \sin (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $1 - \sin (x)$ 乘以 ${(1 - \sin (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $1 - \sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1} {(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1 + 2}}$

解题步骤 12.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $1 (- \sin (x))$ 重新排序。

$\frac{1 (- \sin (x)) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.2

移动括号。

$\frac{1 (- \sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.3

添加圆括号。

$\frac{1 (- (\sin (x) (2 \cos (x)))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.4

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{1 (- (2 \cdot \sin (x) \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.5

使用正弦倍角公式。

$\frac{1 (- \sin (2 x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.6

将 $- \sin (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.7

移动括号。

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.8

将 $2 \cos (x)$ 和 $- \sin (x)$ 重新排序。

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (x) (2 \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.9

添加圆括号。

$\frac{- \sin (2 x) - (\sin (x) (2 \cos (x))) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.10

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{- \sin (2 x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.11

使用正弦倍角公式。

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.12

乘以 $- \sin (2 x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 13.3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (2 x) + 1 \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.12.2

将 $\sin (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.13

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 13.3.13.1

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.13.2

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 13.3.13.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 {\cos (x)}^{2 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.3.13.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

解题步骤 13.4

重新排序项。

$\frac{\sin (x) \sin (2 x) - \sin (2 x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

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