微积分学示例

$f (x) = x + | 2 x |$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + | 2 x |$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [| 2 x |]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.1.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$1 + \frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \cdot 2$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{2 x}{| 2 x |}$ 和 $2$ 。

$1 + \frac{2 x \cdot 2}{| 2 x |}$

解题步骤 1.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 + \frac{4 x}{| 2 x |}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序项。

$\frac{4 x}{| 2 x |} + 1$

解题步骤 1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{4 x}{2 | x |} + 1$

解题步骤 1.3.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1

从 $2 | x |$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x)}{2 (| x |)} + 1$

解题步骤 1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

解题步骤 1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x}{| x |} + 1$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{2 x}{| x |} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{| x |}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{| x |}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{| x |}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{| x |}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{| x |}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{| x |}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = | x |$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.4

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.5

将 $| x |$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.6

组合 $\frac{x}{| x |}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.11

组合 $2$ 和 $\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 | x | + 2 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 | x | - 2 \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{2}}{| x |}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 | x | + \frac{- 2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2.4

将 $\frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.4.1

从 $- \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.4.1.1

从 $- \frac{2 x^{2}}{| x |}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 | x |}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.1.2

从 $2 | x |$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 (| x |)}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.1.3

从 $2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 (| x |)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |)}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.2

要将 $| x |$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| x |}{| x |}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.4.4.1

乘以 $| x | | x |$ 。

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解题步骤 2.4.4.4.1.1

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.4.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.4.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.4.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.4.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.4.2

从绝对值中去掉非负项。

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.4.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{0}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.5

用 $0$ 除以 $| x |$ 。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 0}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4.5

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 0}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.7

用 $0$ 除以 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 0$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x + | 2 x |$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [| 2 x |]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2.1.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$1 + \frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \cdot 1)$

解题步骤 4.1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.5

组合 $\frac{2 x}{| 2 x |}$ 和 $2$ 。

$1 + \frac{2 x \cdot 2}{| 2 x |}$

解题步骤 4.1.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 + \frac{4 x}{| 2 x |}$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

重新排序项。

$\frac{4 x}{| 2 x |} + 1$

解题步骤 4.1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.2.1

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{4 x}{2 | x |} + 1$

解题步骤 4.1.3.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

解题步骤 4.1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.2.2.1

从 $2 | x |$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x)}{2 (| x |)} + 1$

解题步骤 4.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

解题步骤 4.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2 x}{| x |} + 1$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 x}{| x |} + 1$ 。

$\frac{2 x}{| x |} + 1$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{2 x}{| x |} = - 1$

解题步骤 5.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$| x |, 1$

解题步骤 5.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$| x |$

解题步骤 5.4

将 $\frac{2 x}{| x |} = - 1$ 中的每一项乘以 $| x |$ 以消去分数。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{2 x}{| x |} = - 1$ 中的每一项乘以 $| x |$ 。

$\frac{2 x}{| x |} | x | = - | x |$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{| x |} | x | = - | x |$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$2 x = - | x |$

解题步骤 5.5

求解方程。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $- | x | = 2 x$ 。

$- | x | = 2 x$

解题步骤 5.5.2

将 $- | x | = 2 x$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $- | x | = 2 x$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- | x |}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{| x |}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $| x |$ 除以 $1$ 。

$| x | = \frac{2 x}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.1

移动 $\frac{2 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$| x | = - 1 \cdot (2 x)$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $- 1 \cdot (2 x)$ 重写为 $- (2 x)$ 。

$| x | = - (2 x)$

解题步骤 5.5.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$| x | = - 2 x$

解题步骤 5.6

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm (- 2 x)$

解题步骤 5.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = - 2 x$

解题步骤 5.7.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.7.2.1

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$x + 2 x = 0$

解题步骤 5.7.2.2

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$3 x = 0$

解题步骤 5.7.3

将 $3 x = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.7.3.1

将 $3 x = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.7.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.7.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.7.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.7.3.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.7.4

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = 2 x$

解题步骤 5.7.5

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.7.5.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x - 2 x = 0$

解题步骤 5.7.5.2

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$- x = 0$

解题步骤 5.7.6

将 $- x = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.7.6.1

将 $- x = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.7.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.7.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.7.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.7.6.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.8

排除不能使 $\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{2 x}{| x |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$0$

解题步骤 9

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 9.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 9.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{2 x}{| x |} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 9.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2)}{| - 2 |} + 1$

解题步骤 9.2.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 4}{| - 2 |} + 1$

解题步骤 9.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.2.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 4}{2} + 1$

解题步骤 9.2.2.2.2

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$f' (- 2) = - 2 + 1$

解题步骤 9.2.2.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 2) = - 1$

解题步骤 9.2.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 9.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $\frac{2 x}{| x |} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 9.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{2 (2)}{| 2 |} + 1$

解题步骤 9.3.2

化简结果。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = \frac{4}{| 2 |} + 1$

解题步骤 9.3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 9.3.2.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$f' (2) = \frac{4}{2} + 1$

解题步骤 9.3.2.2.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$f' (2) = 2 + 1$

解题步骤 9.3.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (2) = 3$

解题步骤 9.3.2.4

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 9.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例