微积分学示例

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2} - 4$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $\frac{x}{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $\frac{x}{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6

化简项。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6.3

组合 $\frac{4}{2}$ 和 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.4.1

从 $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.6.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6.4.2.2

约去公因数。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6.4.2.3

重写表达式。

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6.4.2.4

用 $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 除以 $1$ 。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

解题步骤 1.3.8

将 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

解题步骤 1.4.1.2

从 $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

解题步骤 1.4.1.3

从 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 1.4.1.4

从 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

要将 $2 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 1.4.2.2

组合 $2 x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 1.4.2.3

在公分母上合并分子。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

解题步骤 1.4.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

解题步骤 1.4.2.5

将 $4 x$ 和 $x$ 相加。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 且 $g (x) = \frac{5 x}{2} - 4$ 。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 4) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $\frac{5 x}{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.2.2

因为 $\frac{5}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.2.6

合并分数。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{5}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.2.6.2

组合 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.2.6.3

将 $5$ 移到 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2} - 4$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

解题步骤 2.3.3

使用 $\frac{x}{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

将 $3$ 移到 $\frac{5 x}{2} - 4$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 2.4.2

根据加法法则， $\frac{x}{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 2.4.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 2.4.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 2.4.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

解题步骤 2.4.7

合并分数。

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解题步骤 2.4.7.1

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2})$

解题步骤 2.4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})$

解题步骤 2.4.7.3

组合 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

解题步骤 2.4.7.4

将 $3$ 移到 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

解题步骤 2.5

要将 $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.6

组合 $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.8

组合 $2$ 和 $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

解题步骤 2.9

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

解题步骤 2.10

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.1

从 $6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

解题步骤 2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

解题步骤 2.10.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

解题步骤 2.10.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

解题步骤 2.10.2.4

用 $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

化简分子。

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解题步骤 2.11.1.1

从 $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.11.1.1.1

从 $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

解题步骤 2.11.1.1.2

从 $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

解题步骤 2.11.1.1.3

从 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4) + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

解题步骤 2.11.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

解题步骤 2.11.1.3

组合 $5$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

解题步骤 2.11.1.4

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

解题步骤 2.11.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 4)}{2}$

解题步骤 2.11.1.6

乘以 $3 \frac{5 x}{2}$ 。

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解题步骤 2.11.1.6.1

组合 $3$ 和 $\frac{5 x}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

解题步骤 2.11.1.6.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

解题步骤 2.11.1.7

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} - 12)}{2}$

解题步骤 2.11.1.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 20 - 12)}{2}$

解题步骤 2.11.1.9

从 $- 20$ 中减去 $12$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.10

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.11

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.12

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.13

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.14

将 $5 x$ 和 $15 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.15

约去 $20$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.11.1.15.1

从 $20 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.15.2

约去公因数。

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解题步骤 2.11.1.15.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.15.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.15.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.15.2.4

用 $10 x$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (10 x - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.16

对 $\frac{x - 8}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.17

从 $10 x - 32$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.11.1.17.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) - 32)}{2}$

解题步骤 2.11.1.17.2

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) + 2 (- 16))}{2}$

解题步骤 2.11.1.17.3

从 $2 (5 x) + 2 (- 16)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x - 16))}{2}$

解题步骤 2.11.1.18

组合 $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

解题步骤 2.11.1.19

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}}$ 。

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解题步骤 2.11.1.19.1

从 ${(x - 8)}^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

解题步骤 2.11.1.19.2

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

解题步骤 2.11.1.19.3

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

解题步骤 2.11.1.19.4

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

解题步骤 2.11.2

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{(5 x - 16) (\frac{{(x - 8)}^{2}}{2})}{2}$

解题步骤 2.11.3

从 $\frac{(5 x - 16) \frac{{(x - 8)}^{2}}{2}}{2}$ 中分解出因数 $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$

解题步骤 2.11.4

乘以 $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$ 。

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解题步骤 2.11.4.1

将 $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{5 x - 16}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.11.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{4}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2} - 4$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $\frac{x}{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

根据加法法则， $\frac{x}{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.6

化简项。

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解题步骤 4.1.3.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.6.3

组合 $\frac{4}{2}$ 和 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.6.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.6.4.1

从 $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.3.6.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.6.4.2.2

约去公因数。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.6.4.2.3

重写表达式。

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.6.4.2.4

用 $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 除以 $1$ 。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.8

将 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.4.1.1

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

解题步骤 4.1.4.1.2

从 $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

解题步骤 4.1.4.1.3

从 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 4.1.4.1.4

从 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ 中分解出因数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 4.1.4.2

合并项。

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解题步骤 4.1.4.2.1

要将 $2 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 4.1.4.2.2

组合 $2 x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

解题步骤 4.1.4.2.3

在公分母上合并分子。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

解题步骤 4.1.4.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

解题步骤 4.1.4.2.5

将 $4 x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

解题步骤 5.3

将 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 的 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $\frac{x}{2} - 4$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{2} - 4 = 0$

解题步骤 5.3.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$\frac{x}{2} = 4$

解题步骤 5.3.2.2.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2.2.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = 8$

解题步骤 5.4

将 $\frac{5 x}{2} - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{5 x}{2} - 4$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $\frac{5 x}{2} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$\frac{5 x}{2} = 4$

解题步骤 5.4.2.2

等式两边同时乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

解题步骤 5.4.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.4.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.3.1.1

化简 $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ 。

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解题步骤 5.4.2.3.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

解题步骤 5.4.2.3.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

解题步骤 5.4.2.3.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.1.1.2.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 4$

解题步骤 5.4.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

解题步骤 5.4.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{5} \cdot 4$

解题步骤 5.4.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.3.2.1

乘以 $\frac{2}{5} \cdot 4$ 。

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解题步骤 5.4.2.3.2.1.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $4$ 。

$x = \frac{2 \cdot 4}{5}$

解题步骤 5.4.2.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{8}{5}$

解题步骤 5.5

最终解为使 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 8, \frac{8}{5}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 8, \frac{8}{5}$

解题步骤 8

计算在 $x = 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)}{4}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

约去 $5 (8) - 16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 ${((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4}$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 (1)}$

解题步骤 9.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 \cdot 1}$

解题步骤 9.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)}{1}$

解题步骤 9.1.1.2.4

用 ${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$ 除以 $1$ 。

${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

解题步骤 9.1.2

化简表达式。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$0^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

解题步骤 9.1.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 (5 \cdot (2) - 4)$

解题步骤 9.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$0 (10 - 4)$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

从 $10$ 中减去 $4$ 。

$0 \cdot 6$

解题步骤 9.3.2

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, \frac{8}{5}) \cup (\frac{8}{5}, 8) \cup (8, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, \frac{8}{5})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f' (0) = {(0 - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

解题步骤 10.2.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$f' (0) = {(- 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

解题步骤 10.2.2.3

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (0) = - 64 (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

解题步骤 10.2.2.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = - 64 (\frac{0}{2} - 4)$

解题步骤 10.2.2.5

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f' (0) = - 64 (0 - 4)$

解题步骤 10.2.2.6

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$f' (0) = - 64 \cdot - 4$

解题步骤 10.2.2.7

将 $- 64$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (0) = 256$

解题步骤 10.2.2.8

最终答案为 $256$ 。

$256$

解题步骤 10.3

将区间 $(\frac{8}{5}, 8)$ 内的任一数字（例如 $5$ ）代入一阶导数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (5) = {(\frac{5}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (5) = {(\frac{5 - 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 10.3.2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f' (5) = {(\frac{5 - 8}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.4.2

从 $5$ 中减去 $8$ 。

$f' (5) = {(\frac{- 3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$f' (5) = {(- \frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 10.3.2.6.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (5) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.6.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (5) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.7

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.10

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4)$

解题步骤 10.3.2.11

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 10.3.2.12

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})$

解题步骤 10.3.2.13

在公分母上合并分子。

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 4 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.3.2.14

化简分子。

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解题步骤 10.3.2.14.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 8}{2}$

解题步骤 10.3.2.14.2

从 $25$ 中减去 $8$ 。

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$

解题步骤 10.3.2.15

乘以 $- \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$ 。

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解题步骤 10.3.2.15.1

将 $\frac{17}{2}$ 乘以 $\frac{27}{8}$ 。

$f' (5) = - \frac{17 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

解题步骤 10.3.2.15.2

将 $17$ 乘以 $27$ 。

$f' (5) = - \frac{459}{2 \cdot 8}$

解题步骤 10.3.2.15.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f' (5) = - \frac{459}{16}$

解题步骤 10.3.2.16

最终答案为 $- \frac{459}{16}$ 。

$- \frac{459}{16}$

解题步骤 10.4

将区间 $(8, \infty)$ 内的任一数字（例如 $10$ ）代入一阶导数 ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $10$ 替换变量 $x$ 。

$f' (10) = {(\frac{10}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

用 $10$ 除以 $2$ 。

$f' (10) = {(5 - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

解题步骤 10.4.2.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$f' (10) = 1^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

解题步骤 10.4.2.3

一的任意次幂都为一。

$f' (10) = 1 (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

解题步骤 10.4.2.4

将 $\frac{5 (10)}{2} - 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (10) = \frac{5 (10)}{2} - 4$

解题步骤 10.4.2.5

将 $5$ 乘以 $10$ 。

$f' (10) = \frac{50}{2} - 4$

解题步骤 10.4.2.6

用 $50$ 除以 $2$ 。

$f' (10) = 25 - 4$

解题步骤 10.4.2.7

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$f' (10) = 21$

解题步骤 10.4.2.8

最终答案为 $21$ 。

$21$

解题步骤 10.5

由于一阶导数在 $x = \frac{8}{5}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{8}{5}$ 是极大值。

$x = \frac{8}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = 8$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 8$ 是极小值。

$x = 8$ 是一个极小值

解题步骤 10.7

这些是 $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ 的局部极值。

$x = \frac{8}{5}$ 是一个极大值

$x = 8$ 是一个极小值

$x = \frac{8}{5}$ 是一个极大值

$x = 8$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例