微积分学示例

$f (x) = \tan (x) - x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\tan (x) - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (x) - 1$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$- 1 + \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.4.2

将 $- 1$ 和 $\sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\sec^{2} (x) - 1$

解题步骤 1.4.3

使用勾股恒等式。

$\tan^{2} (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

解题步骤 2.1.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

解题步骤 2.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.3

重新排序 $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\tan^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\tan (x) = \pm 0$

解题步骤 5.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 6

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 9

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 10

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 11

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

解题步骤 12.2

一的任意次幂都为一。

$2 \cdot 1 \tan (0)$

解题步骤 12.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \tan (0)$

解题步骤 12.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 \cdot 0$

解题步骤 12.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 13

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 14

微积分学 示例

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