微积分学示例

$f (x) = \sin (x^{2})$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos (x^{2}) (2 x)$

解题步骤 1.2.2

重新排序 $\cos (x^{2}) (2 x)$ 的因式。

$2 x \cos (x^{2})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \cos (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x^{2})$ 。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 $\cos (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

解题步骤 2.11.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

解题步骤 5

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

将 $\cos (x^{2})$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x^{2})$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x^{2}) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x^{2}) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

代入 $u$ 替换 $x^{2}$ 。

$\cos (u) = 0$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $u$ 。

$u = \arccos (0)$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$u = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.5

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.5.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.5.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.2.5.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$u = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.6

方程 $u = \frac{π}{2}$ 的解。

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.7

将 $x^{2}$ 代入 $u$ ，并求解 $x^{2} = \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.7.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

解题步骤 6.2.7.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.7.2.1

将 $\sqrt{\frac{π}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.7.2.2

将 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.7.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.2.7.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.2.7.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.7.2.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 6.2.7.2.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.7.2.4

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

解题步骤 6.2.7.2.5

将 $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 6.2.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.7.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 6.2.7.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 6.2.7.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 6.2.8

将 $x^{2}$ 代入 $u$ ，并求解 $x^{2} = \frac{3 π}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.8.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

解题步骤 6.2.8.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.8.2.1

将 $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.8.2.2

将 $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.8.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.2.8.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.2.8.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.8.2.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 6.2.8.2.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.8.2.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.8.2.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

解题步骤 6.2.8.2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 6.2.8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.8.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 6.2.8.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 6.2.8.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 7

最终解为使 $2 x \cos (x^{2}) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

解题步骤 9.1.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

解题步骤 9.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

解题步骤 9.1.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

解题步骤 9.1.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 2 \cos (0)$

解题步骤 9.1.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + 2$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \sin (0)$

解题步骤 11.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.2

将 ${\sqrt{6 π}}^{2}$ 重写为 $6 π$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 π}$ 重写成 ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.2.4.1

约去公因数。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.2.4.2

重写表达式。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.2.5

化简。

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.4.2

约去公因数。

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.4.3

重写表达式。

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.5

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.6

对 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.7

将 ${\sqrt{6 π}}^{2}$ 重写为 $6 π$ 。

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解题步骤 13.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 π}$ 重写成 ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.7.4.1

约去公因数。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.7.4.2

重写表达式。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.7.5

化简。

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.9

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.9.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.9.2.2

约去公因数。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.9.2.3

重写表达式。

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.11

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.13

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 13.1.14

对 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 13.1.15

将 ${\sqrt{6 π}}^{2}$ 重写为 $6 π$ 。

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解题步骤 13.1.15.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 π}$ 重写成 ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 13.1.15.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

解题步骤 13.1.15.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 13.1.15.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.15.4.1

约去公因数。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 13.1.15.4.2

重写表达式。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

解题步骤 13.1.15.5

化简。

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

解题步骤 13.1.16

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

解题步骤 13.1.17

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.17.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

解题步骤 13.1.17.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.17.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

解题步骤 13.1.17.2.2

约去公因数。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

解题步骤 13.1.17.2.3

重写表达式。

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 13.1.18

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 13.1.19

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$6 π + 2 \cdot 0$

解题步骤 13.1.20

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$6 π + 0$

解题步骤 13.2

将 $6 π$ 和 $0$ 相加。

$6 π$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

对 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 15.2.2

将 ${\sqrt{6 π}}^{2}$ 重写为 $6 π$ 。

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解题步骤 15.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 π}$ 重写成 ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 15.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

解题步骤 15.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 15.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 15.2.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

解题步骤 15.2.2.5

化简。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

解题步骤 15.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

解题步骤 15.2.4

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.4.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

解题步骤 15.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

解题步骤 15.2.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

解题步骤 15.2.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 15.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 15.2.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 15.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

解题步骤 15.2.8

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 16

计算在 $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 17.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.3

将 $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.4

将 ${\sqrt{6 π}}^{2}$ 重写为 $6 π$ 。

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解题步骤 17.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 π}$ 重写成 ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.4.4.1

约去公因数。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.4.4.2

重写表达式。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.4.5

化简。

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.6.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.6.2

约去公因数。

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.6.3

重写表达式。

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.7

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 17.1.8.1

对 $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.8.2

对 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.10

将 $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.11

将 ${\sqrt{6 π}}^{2}$ 重写为 $6 π$ 。

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解题步骤 17.1.11.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 π}$ 重写成 ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.11.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.11.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.11.4.1

约去公因数。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.11.4.2

重写表达式。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.11.5

化简。

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.13

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.13.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.13.2

约去公因数。

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解题步骤 17.1.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.13.2.2

约去公因数。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.13.2.3

重写表达式。

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.14

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.15

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.17

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.18

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 17.1.18.1

对 $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 17.1.18.2

对 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.19

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.20

将 $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.21

将 ${\sqrt{6 π}}^{2}$ 重写为 $6 π$ 。

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解题步骤 17.1.21.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 π}$ 重写成 ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.21.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.21.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.21.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.21.4.1

约去公因数。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.21.4.2

重写表达式。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.21.5

化简。

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

解题步骤 17.1.22

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

解题步骤 17.1.23

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.23.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

解题步骤 17.1.23.2

约去公因数。

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解题步骤 17.1.23.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

解题步骤 17.1.23.2.2

约去公因数。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

解题步骤 17.1.23.2.3

重写表达式。

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 17.1.24

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 17.1.25

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$6 π + 2 \cdot 0$

解题步骤 17.1.26

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$6 π + 0$

解题步骤 17.2

将 $6 π$ 和 $0$ 相加。

$6 π$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

解题步骤 19.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 19.2.2

化简表达式。

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解题步骤 19.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 19.2.3

将 ${\sqrt{6 π}}^{2}$ 重写为 $6 π$ 。

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解题步骤 19.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 π}$ 重写成 ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 19.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

解题步骤 19.2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 19.2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.3.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 19.2.3.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

解题步骤 19.2.3.5

化简。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

解题步骤 19.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

解题步骤 19.2.5

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.5.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

解题步骤 19.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

解题步骤 19.2.5.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

解题步骤 19.2.5.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 19.2.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 19.2.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 19.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

解题步骤 19.2.9

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = \sin (x^{2})$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最小值

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ 是一个局部最小值

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例