微积分学示例

$f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ 。

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 1.2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

解题步骤 1.2.6

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

解题步骤 1.2.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

解题步骤 1.2.8

组合 $\frac{2}{x^{2} + 1}$ 和 $x$ 。

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.9

组合 $- 6$ 和 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 。

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.10

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.11

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2

重新排序项。

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 12 x + 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x + 1) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 12 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + 0) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

将 $2 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.2.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.11.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 (x^{2} - 12 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) + (- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (2 x - 12)$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 12) + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

将 $- 12$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.5

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

合并 $2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 0 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $- 12 x^{2} + 2 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.3

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.4

将 $- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.3

将 $- 12 x^{2}$ 和 $24 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

化简分子。

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解题步骤 2.3.4.1

从 $12 x^{2} - 12$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.2

从 $- 12$ 中分解出因数 $12$ 。

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) + 12 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.3

从 $12 (x^{2}) + 12 (- 1)$ 中分解出因数 $12$ 。

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{12 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ 。

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

解题步骤 4.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4.1.2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4.1.2.2.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 4.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

解题步骤 4.1.2.6

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

解题步骤 4.1.2.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

解题步骤 4.1.2.8

组合 $\frac{2}{x^{2} + 1}$ 和 $x$ 。

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.2.9

组合 $- 6$ 和 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 。

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.2.10

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.2.11

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

合并项。

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解题步骤 4.1.3.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.3.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x^{2} - 12 x + 1 = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 12$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3

化简。

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解题步骤 5.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3.1.3

从 $144$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将 $140$ 重写为 $2^{2} \cdot 35$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.4.1

从 $140$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

解题步骤 5.3.3.3

化简 $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ 。

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

解题步骤 5.3.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.4.1.3

从 $144$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.4.1.4

将 $140$ 重写为 $2^{2} \cdot 35$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.4.1

从 $140$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

解题步骤 5.3.4.3

化简 $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ 。

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

解题步骤 5.3.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 6 + \sqrt{35}$

解题步骤 5.3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.5.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.1.3

从 $144$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.1.4

将 $140$ 重写为 $2^{2} \cdot 35$ 。

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解题步骤 5.3.5.1.4.1

从 $140$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

解题步骤 5.3.5.3

化简 $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ 。

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

解题步骤 5.3.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 6 - \sqrt{35}$

解题步骤 5.3.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

解题步骤 8

计算在 $x = 6 + \sqrt{35}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{12 ((6 + \sqrt{35}) + 1) ((6 + \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35} - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 ${(6 + \sqrt{35})}^{2}$ 重写为 $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ 。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{((6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 9.2.2.1

运用分配律。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 (6 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

运用分配律。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.3

运用分配律。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.3.1.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3.1.2

将 $6$ 移到 $\sqrt{35}$ 的左侧。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3.1.4

将 $35$ 乘以 $35$ 。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{1225} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3.1.5

将 $1225$ 重写为 $35^{2}$ 。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $36$ 和 $35$ 相加。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3.3

将 $6 \sqrt{35}$ 和 $6 \sqrt{35}$ 相加。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.4

将 $71$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.3

将 $5 + \sqrt{35}$ 和 $7 + \sqrt{35}$ 分成一组。

$\frac{12 ((5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.4

使用 FOIL 方法展开 $(5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 9.4.1

运用分配律。

$\frac{12 (5 (7 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.4.2

运用分配律。

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.4.3

运用分配律。

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.5.1

化简每一项。

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解题步骤 9.5.1.1

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.5.1.2

将 $7$ 移到 $\sqrt{35}$ 的左侧。

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.5.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.5.1.4

将 $35$ 乘以 $35$ 。

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{1225})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.5.1.5

将 $1225$ 重写为 $35^{2}$ 。

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.5.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.5.2

将 $35$ 和 $35$ 相加。

$\frac{12 (70 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.5.3

将 $5 \sqrt{35}$ 和 $7 \sqrt{35}$ 相加。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 9.6

将 ${(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}$ 重写为 $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.7

使用 FOIL 方法展开 $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 9.7.1

运用分配律。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 (72 + 12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.7.2

运用分配律。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.7.3

运用分配律。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.8.1

化简每一项。

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解题步骤 9.8.1.1

将 $72$ 乘以 $72$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.8.1.2

将 $12$ 乘以 $72$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.8.1.3

将 $72$ 乘以 $12$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.8.1.4

乘以 $12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 9.8.1.4.1

将 $12$ 乘以 $12$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

解题步骤 9.8.1.4.2

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

解题步骤 9.8.1.4.3

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

解题步骤 9.8.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.8.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

解题步骤 9.8.1.5

将 ${\sqrt{35}}^{2}$ 重写为 $35$ 。

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解题步骤 9.8.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{35}$ 重写成 $35^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.8.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.8.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.8.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.8.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.8.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

解题步骤 9.8.1.5.5

计算指数。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

解题步骤 9.8.1.6

将 $144$ 乘以 $35$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 5040}$

解题步骤 9.8.2

将 $5184$ 和 $5040$ 相加。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.8.3

将 $864 \sqrt{35}$ 和 $864 \sqrt{35}$ 相加。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 1728 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.9

约去公因数。

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解题步骤 9.9.1

从 $10224$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 1728 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.9.2

从 $1728 \sqrt{35}$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (144 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.9.3

从 $12 (852) + 12 (144 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.9.4

约去公因数。

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.9.5

重写表达式。

$\frac{70 + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.10

约去 $70 + 12 \sqrt{35}$ 和 $852 + 144 \sqrt{35}$ 的公因数。

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解题步骤 9.10.1

从 $70$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35) + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.10.2

从 $12 \sqrt{35}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.10.3

从 $2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.10.4

约去公因数。

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解题步骤 9.10.4.1

从 $852$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.10.4.2

从 $144 \sqrt{35}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (72 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.10.4.3

从 $2 (426) + 2 (72 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.10.4.4

约去公因数。

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.10.4.5

重写表达式。

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.11

将 $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ 乘以 $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ 。

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

解题步骤 9.12

化简项。

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解题步骤 9.12.1

将 $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ 乘以 $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ 。

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{(426 + 72 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}$

解题步骤 9.12.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{181476 - 30672 \sqrt{35} + 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

解题步骤 9.12.3

化简。

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{36}$

解题步骤 9.12.4

约去 $426 - 72 \sqrt{35}$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 9.12.4.1

从 $(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{36}$

解题步骤 9.12.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.12.4.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

解题步骤 9.12.4.2.2

约去公因数。

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

解题步骤 9.12.4.2.3

重写表达式。

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.13

使用 FOIL 方法展开 $(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 9.13.1

运用分配律。

$\frac{35 (71 - 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.13.2

运用分配律。

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.13.3

运用分配律。

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.14

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.14.1

化简每一项。

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解题步骤 9.14.1.1

将 $35$ 乘以 $71$ 。

$\frac{2485 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.14.1.2

将 $- 12$ 乘以 $35$ 。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.14.1.3

将 $71$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.14.1.4

乘以 $6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 9.14.1.4.1

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 9.14.1.4.2

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.14.1.4.3

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

解题步骤 9.14.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

解题步骤 9.14.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

解题步骤 9.14.1.5

将 ${\sqrt{35}}^{2}$ 重写为 $35$ 。

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解题步骤 9.14.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{35}$ 重写成 $35^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

解题步骤 9.14.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

解题步骤 9.14.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

解题步骤 9.14.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.14.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

解题步骤 9.14.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

解题步骤 9.14.1.5.5

计算指数。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

解题步骤 9.14.1.6

将 $- 72$ 乘以 $35$ 。

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

解题步骤 9.14.2

从 $2485$ 中减去 $2520$ 。

$\frac{- 35 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 9.14.3

将 $- 420 \sqrt{35}$ 和 $426 \sqrt{35}$ 相加。

$\frac{- 35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 9.15

将 $- 35$ 重写为 $- 1 (35)$ 。

$\frac{- 1 (35) + 6 \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 9.16

从 $6 \sqrt{35}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.17

从 $- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (35 - 6 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 9.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 6 + \sqrt{35}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 6 + \sqrt{35}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 6 + \sqrt{35}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $6 + \sqrt{35}$ 替换变量 $x$ 。

$f (6 + \sqrt{35}) = (6 + \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

去掉圆括号。

$f (6 + \sqrt{35}) = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$ 。

$y = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

解题步骤 12

计算在 $x = 6 - \sqrt{35}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{12 ((6 - \sqrt{35}) + 1) ((6 - \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35} - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

将 ${(6 - \sqrt{35})}^{2}$ 重写为 $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{((6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 13.2.2.1

运用分配律。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 (6 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.2.2

运用分配律。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.2.3

运用分配律。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.3.1.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.4

乘以 $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 13.2.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.4.2

将 $\sqrt{35}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.4.3

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.4.4

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.5

将 ${\sqrt{35}}^{2}$ 重写为 $35$ 。

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解题步骤 13.2.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{35}$ 重写成 $35^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.3.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{1} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.5.5

计算指数。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.2

将 $36$ 和 $35$ 相加。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.3

从 $- 6 \sqrt{35}$ 中减去 $6 \sqrt{35}$ 。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.4

将 $71$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.3

将 $5 - \sqrt{35}$ 和 $7 - \sqrt{35}$ 分成一组。

$\frac{12 ((5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.4

使用 FOIL 方法展开 $(5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 13.4.1

运用分配律。

$\frac{12 (5 (7 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.4.2

运用分配律。

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.4.3

运用分配律。

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.5.1

化简每一项。

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解题步骤 13.5.1.1

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{12 (35 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.3

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.4

乘以 $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 13.5.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.4.2

将 $\sqrt{35}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.4.3

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.4.4

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.5

将 ${\sqrt{35}}^{2}$ 重写为 $35$ 。

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解题步骤 13.5.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{35}$ 重写成 $35^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.1.5.5

计算指数。

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.2

将 $35$ 和 $35$ 相加。

$\frac{12 (70 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.5.3

从 $- 5 \sqrt{35}$ 中减去 $7 \sqrt{35}$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

解题步骤 13.6

将 ${(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}$ 重写为 $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.7

使用 FOIL 方法展开 $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 13.7.1

运用分配律。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 (72 - 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.7.2

运用分配律。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.7.3

运用分配律。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.8.1

化简每一项。

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解题步骤 13.8.1.1

将 $72$ 乘以 $72$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.8.1.2

将 $- 12$ 乘以 $72$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.8.1.3

将 $72$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.8.1.4

乘以 $- 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 13.8.1.4.1

将 $- 12$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

解题步骤 13.8.1.4.2

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

解题步骤 13.8.1.4.3

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

解题步骤 13.8.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

解题步骤 13.8.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

解题步骤 13.8.1.5

将 ${\sqrt{35}}^{2}$ 重写为 $35$ 。

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解题步骤 13.8.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{35}$ 重写成 $35^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13.8.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 13.8.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 13.8.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.8.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 13.8.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

解题步骤 13.8.1.5.5

计算指数。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

解题步骤 13.8.1.6

将 $144$ 乘以 $35$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 5040}$

解题步骤 13.8.2

将 $5184$ 和 $5040$ 相加。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.8.3

从 $- 864 \sqrt{35}$ 中减去 $864 \sqrt{35}$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 1728 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.9

约去公因数。

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解题步骤 13.9.1

从 $10224$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 - 1728 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.9.2

从 $- 1728 \sqrt{35}$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (- 144 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.9.3

从 $12 (852) + 12 (- 144 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.9.4

约去公因数。

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.9.5

重写表达式。

$\frac{70 - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.10

约去 $70 - 12 \sqrt{35}$ 和 $852 - 144 \sqrt{35}$ 的公因数。

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解题步骤 13.10.1

从 $70$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35) - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.10.2

从 $- 12 \sqrt{35}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.10.3

从 $2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.10.4

约去公因数。

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解题步骤 13.10.4.1

从 $852$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 - 144 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.10.4.2

从 $- 144 \sqrt{35}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (- 72 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.10.4.3

从 $2 (426) + 2 (- 72 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.10.4.4

约去公因数。

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.10.4.5

重写表达式。

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.11

将 $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ 乘以 $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ 。

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

解题步骤 13.12

化简项。

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解题步骤 13.12.1

将 $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ 乘以 $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ 。

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{(426 - 72 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}$

解题步骤 13.12.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{181476 + 30672 \sqrt{35} - 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

解题步骤 13.12.3

化简。

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{36}$

解题步骤 13.12.4

约去 $426 + 72 \sqrt{35}$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 13.12.4.1

从 $(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{36}$

解题步骤 13.12.4.2

约去公因数。

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解题步骤 13.12.4.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

解题步骤 13.12.4.2.2

约去公因数。

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

解题步骤 13.12.4.2.3

重写表达式。

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.13

使用 FOIL 方法展开 $(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 13.13.1

运用分配律。

$\frac{35 (71 + 12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.13.2

运用分配律。

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.13.3

运用分配律。

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.14

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.14.1

化简每一项。

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解题步骤 13.14.1.1

将 $35$ 乘以 $71$ 。

$\frac{2485 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.14.1.2

将 $12$ 乘以 $35$ 。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.14.1.3

将 $71$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.14.1.4

乘以 $- 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ 。

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解题步骤 13.14.1.4.1

将 $12$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 13.14.1.4.2

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.14.1.4.3

对 $\sqrt{35}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

解题步骤 13.14.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

解题步骤 13.14.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

解题步骤 13.14.1.5

将 ${\sqrt{35}}^{2}$ 重写为 $35$ 。

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解题步骤 13.14.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{35}$ 重写成 $35^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

解题步骤 13.14.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

解题步骤 13.14.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

解题步骤 13.14.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.14.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

解题步骤 13.14.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

解题步骤 13.14.1.5.5

计算指数。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

解题步骤 13.14.1.6

将 $- 72$ 乘以 $35$ 。

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

解题步骤 13.14.2

从 $2485$ 中减去 $2520$ 。

$\frac{- 35 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 13.14.3

从 $420 \sqrt{35}$ 中减去 $426 \sqrt{35}$ 。

$\frac{- 35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 13.15

将 $- 35$ 重写为 $- 1 (35)$ 。

$\frac{- 1 (35) - 6 \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 13.16

从 $- 6 \sqrt{35}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (35) - (6 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.17

从 $- 1 (35) - (6 \sqrt{35})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (35 + 6 \sqrt{35})}{6}$

解题步骤 13.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 6 - \sqrt{35}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 6 - \sqrt{35}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = 6 - \sqrt{35}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $6 - \sqrt{35}$ 替换变量 $x$ 。

$f (6 - \sqrt{35}) = (6 - \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$ 。

$f (6 - \sqrt{35}) = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

解题步骤 15.2.2

最终答案为 $6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$ 。

$y = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ 的局部极值。

$(6 + \sqrt{35}, 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1))$ 是一个局部最小值

$(6 - \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6}))$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例