微积分学示例

$g (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ 。

$- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 。

$- 100 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 100 (e^{u} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.4

因为 $0.75$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.75 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.6

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.8

将 $4$ 乘以 $0.75$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.2.9

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ 和 $0$ 相加。

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)]$ 。

$g'' (x) = - 100 \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ 且 $g (x) = 3 x^{3} - 12 x$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} (3 x^{3} - 12 x) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $3 x^{3} - 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

解题步骤 2.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

解题步骤 2.3.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12 \cdot 1) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

解题步骤 2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (e^{u} \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

解题步骤 2.4.3

使用 $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} (0.75 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

解题步骤 2.5.2

因为 $0.75$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.75 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

解题步骤 2.5.4

将 $4$ 乘以 $0.75$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

解题步骤 2.5.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}))$

解题步骤 2.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x)))$

解题步骤 2.5.7

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x))$

解题步骤 2.6

对 $3 x^{3} - 12 x$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

解题步骤 2.7

对 $3 x^{3} - 12 x$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

解题步骤 2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + {(3 x^{3} - 12 x)}^{1 + 1} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

解题步骤 2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + {(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12)) - 100 ({(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

解题步骤 2.10.2

去掉圆括号。

$g'' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) - 100 {(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$

解题步骤 2.10.3

重新排序项。

$g'' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} {(3 x^{3} - 12 x)}^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ 。

$- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 。

$- 100 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 100 (e^{u} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.2.3

使用 $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $0.75$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.75 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.6

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.8

将 $4$ 乘以 $0.75$ 。

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.2.9

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

解题步骤 4.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ 。

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$

$3 x^{3} - 12 x = 0$

解题步骤 5.3

将 $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 的 $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 5.3.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.3.2.3

$e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.4

将 $3 x^{3} - 12 x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $3 x^{3} - 12 x$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{3} - 12 x = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $3 x^{3} - 12 x = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.4.2.1.1

从 $3 x^{3} - 12 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x^{2}) - 12 x = 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4) = 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

从 $3 x (x^{2}) + 3 x (- 4)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 5.4.2.1.3

因数。

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解题步骤 5.4.2.1.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$3 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 5.4.2.1.3.2

去掉多余的括号。

$3 x (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 5.4.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.4.2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.4.2.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.2.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.4.2.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5.4.2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.4.2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.4.2.6

最终解为使 $3 x (x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2, 2$

解题步骤 5.5

最终解为使 $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2, 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 2, 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $0.75$ 乘以 $0$ 。

$- 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 100 e^{0 - 6 \cdot 0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.1.4

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$- 100 e^{0 + 0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- 100 e^{0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 100 \cdot 1 (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 100$ 乘以 $1$ 。

$- 100 (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.5

化简每一项。

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解题步骤 9.1.5.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 100 (9 \cdot 0 - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.5.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$- 100 (0 - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.6

从 $0$ 中减去 $12$ 。

$- 100 \cdot - 12 - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.7

将 $- 100$ 乘以 $- 12$ 。

$1200 - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.8

化简每一项。

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解题步骤 9.1.8.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1200 - 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.8.2

将 $0.75$ 乘以 $0$ 。

$1200 - 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.8.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1200 - 100 e^{0 - 6 \cdot 0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.8.4

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$1200 - 100 e^{0 + 0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$1200 - 100 e^{0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.10

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1200 - 100 \cdot 1 {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.11

将 $- 100$ 乘以 $1$ 。

$1200 - 100 {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.12

化简每一项。

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解题步骤 9.1.12.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1200 - 100 {(3 \cdot 0 - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.12.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$1200 - 100 {(0 - 12 \cdot 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.12.3

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$1200 - 100 {(0 + 0)}^{2}$

解题步骤 9.1.13

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$1200 - 100 \cdot 0^{2}$

解题步骤 9.1.14

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1200 - 100 \cdot 0$

解题步骤 9.1.15

将 $- 100$ 乘以 $0$ 。

$1200 + 0$

解题步骤 9.2

将 $1200$ 和 $0$ 相加。

$1200$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$g (0) = - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} - 30$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$g (0) = - 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} - 30$

解题步骤 11.2.1.1.2

将 $0.75$ 乘以 $0$ 。

$g (0) = - 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} - 30$

解题步骤 11.2.1.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$g (0) = - 100 e^{0 - 6 \cdot 0} - 30$

解题步骤 11.2.1.1.4

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$g (0) = - 100 e^{0 + 0} - 30$

解题步骤 11.2.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$g (0) = - 100 e^{0} - 30$

解题步骤 11.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$g (0) = - 100 \cdot 1 - 30$

解题步骤 11.2.1.4

将 $- 100$ 乘以 $1$ 。

$g (0) = - 100 - 30$

解题步骤 11.2.2

从 $- 100$ 中减去 $30$ 。

$g (0) = - 130$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 130$ 。

$y = - 130$

解题步骤 12

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.1.2

将 $0.75$ 乘以 $16$ 。

$- 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 100 e^{12 - 6 \cdot 4} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.1.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$- 100 e^{12 - 24} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.2

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$- 100 e^{- 12} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 100 \frac{1}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.4

组合 $- 100$ 和 $\frac{1}{e^{12}}$ 。

$\frac{- 100}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{100}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.6

化简每一项。

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解题步骤 13.1.6.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{100}{e^{12}} (9 \cdot 4 - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.6.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{100}{e^{12}} (36 - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.7

从 $36$ 中减去 $12$ 。

$- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.8

乘以 $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24$ 。

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解题步骤 13.1.8.1

将 $24$ 乘以 $- 1$ 。

$- 24 \frac{100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.8.2

组合 $- 24$ 和 $\frac{100}{e^{12}}$ 。

$\frac{- 24 \cdot 100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.8.3

将 $- 24$ 乘以 $100$ 。

$\frac{- 2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.10

使用近似值替换 $e$ 。

$- \frac{2400}{{2.71828182}^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.11

对 $2.71828182$ 进行 $12$ 次方运算。

$- \frac{2400}{162754.791419} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.12

用 $2400$ 除以 $162754.791419$ 。

$- 1 \cdot 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.13

将 $- 1$ 乘以 $0.0147461$ 。

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.14

化简每一项。

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解题步骤 13.1.14.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.14.2

将 $0.75$ 乘以 $16$ 。

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.14.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.14.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 24} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.15

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$- 0.0147461 - 100 e^{- 12} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 0.0147461 - 100 \frac{1}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.17

组合 $- 100$ 和 $\frac{1}{e^{12}}$ 。

$- 0.0147461 + \frac{- 100}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.18

将负号移到分数的前面。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.19

化简每一项。

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解题步骤 13.1.19.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 \cdot - 8 - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.19.2

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(- 24 - 12 \cdot - 2)}^{2}$

解题步骤 13.1.19.3

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(- 24 + 24)}^{2}$

解题步骤 13.1.20

将 $- 24$ 和 $24$ 相加。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0^{2}$

解题步骤 13.1.21

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$

解题步骤 13.1.22

乘以 $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$ 。

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解题步骤 13.1.22.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$- 0.0147461 + 0 \frac{100}{e^{12}}$

解题步骤 13.1.22.2

将 $0$ 乘以 $\frac{100}{e^{12}}$ 。

$- 0.0147461 + 0$

解题步骤 13.2

将 $- 0.0147461$ 和 $0$ 相加。

$- 0.0147461$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$g (- 2) = - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$g (- 2) = - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

解题步骤 15.2.1.1.2

将 $0.75$ 乘以 $16$ 。

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

解题步骤 15.2.1.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} - 30$

解题步骤 15.2.1.1.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 24} - 30$

解题步骤 15.2.1.2

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$g (- 2) = - 100 e^{- 12} - 30$

解题步骤 15.2.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$g (- 2) = - 100 \frac{1}{e^{12}} - 30$

解题步骤 15.2.1.4

组合 $- 100$ 和 $\frac{1}{e^{12}}$ 。

$g (- 2) = \frac{- 100}{e^{12}} - 30$

解题步骤 15.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$g (- 2) = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

解题步骤 15.2.2

最终答案为 $- \frac{100}{e^{12}} - 30$ 。

$y = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

解题步骤 16

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.1.2

将 $0.75$ 乘以 $16$ 。

$- 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 100 e^{12 - 6 \cdot 4} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.1.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$- 100 e^{12 - 24} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.2

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$- 100 e^{- 12} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 100 \frac{1}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.4

组合 $- 100$ 和 $\frac{1}{e^{12}}$ 。

$\frac{- 100}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{100}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.6

化简每一项。

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解题步骤 17.1.6.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{100}{e^{12}} (9 \cdot 4 - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.6.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{100}{e^{12}} (36 - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.7

从 $36$ 中减去 $12$ 。

$- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.8

乘以 $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24$ 。

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解题步骤 17.1.8.1

将 $24$ 乘以 $- 1$ 。

$- 24 \frac{100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.8.2

组合 $- 24$ 和 $\frac{100}{e^{12}}$ 。

$\frac{- 24 \cdot 100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.8.3

将 $- 24$ 乘以 $100$ 。

$\frac{- 2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.10

使用近似值替换 $e$ 。

$- \frac{2400}{{2.71828182}^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.11

对 $2.71828182$ 进行 $12$ 次方运算。

$- \frac{2400}{162754.791419} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.12

用 $2400$ 除以 $162754.791419$ 。

$- 1 \cdot 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.13

将 $- 1$ 乘以 $0.0147461$ 。

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.14

化简每一项。

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解题步骤 17.1.14.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.14.2

将 $0.75$ 乘以 $16$ 。

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.14.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.14.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 24} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.15

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$- 0.0147461 - 100 e^{- 12} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 0.0147461 - 100 \frac{1}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.17

组合 $- 100$ 和 $\frac{1}{e^{12}}$ 。

$- 0.0147461 + \frac{- 100}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.18

将负号移到分数的前面。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.19

化简每一项。

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解题步骤 17.1.19.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 \cdot 8 - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.19.2

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(24 - 12 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 17.1.19.3

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(24 - 24)}^{2}$

解题步骤 17.1.20

从 $24$ 中减去 $24$ 。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0^{2}$

解题步骤 17.1.21

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$

解题步骤 17.1.22

乘以 $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$ 。

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解题步骤 17.1.22.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$- 0.0147461 + 0 \frac{100}{e^{12}}$

解题步骤 17.1.22.2

将 $0$ 乘以 $\frac{100}{e^{12}}$ 。

$- 0.0147461 + 0$

解题步骤 17.2

将 $- 0.0147461$ 和 $0$ 相加。

$- 0.0147461$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$g (2) = - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} - 30$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$g (2) = - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} - 30$

解题步骤 19.2.1.1.2

将 $0.75$ 乘以 $16$ 。

$g (2) = - 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} - 30$

解题步骤 19.2.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (2) = - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} - 30$

解题步骤 19.2.1.1.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$g (2) = - 100 e^{12 - 24} - 30$

解题步骤 19.2.1.2

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$g (2) = - 100 e^{- 12} - 30$

解题步骤 19.2.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$g (2) = - 100 \frac{1}{e^{12}} - 30$

解题步骤 19.2.1.4

组合 $- 100$ 和 $\frac{1}{e^{12}}$ 。

$g (2) = \frac{- 100}{e^{12}} - 30$

解题步骤 19.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$g (2) = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

解题步骤 19.2.2

最终答案为 $- \frac{100}{e^{12}} - 30$ 。

$y = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

解题步骤 20

这些是 $g (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ 的局部极值。

$(0, - 130)$ 是一个局部最小值

$(- 2, - \frac{100}{e^{12}} - 30)$ 是一个局部最大值

$(2, - \frac{100}{e^{12}} - 30)$ 是一个局部最大值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例