微积分学示例

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x - 2 \arctan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \arctan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ 。

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.2.4

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.3.1.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

重新排序项。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.5.1

合并 $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.5.1.1

从 $2 x^{2} x$ 中减去 $2 x^{2} x$ 。

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.1.2

将 $2 \cdot 1 x$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 5.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 5.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 5.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 5.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 5.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 6

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{2^{2}}$

解题步骤 7.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{4}$

解题步骤 7.3

用 $4$ 除以 $4$ 。

$1$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 9

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 9.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

解题步骤 9.2.1.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 9.2.1.2.3

约去公因数。

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 9.2.1.2.4

重写表达式。

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.1.3

将 $- 1 \frac{π}{2}$ 重写为 $- \frac{π}{2}$ 。

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.2

最终答案为 $1 - \frac{π}{2}$ 。

$y = 1 - \frac{π}{2}$

解题步骤 10

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 11.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 4}{2^{2}}$

解题步骤 11.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 4}{4}$

解题步骤 11.3

用 $- 4$ 除以 $4$ 。

$- 1$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

解题步骤 13.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.2.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

解题步骤 13.2.1.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

解题步骤 13.2.1.2.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 13.2.1.2.4

约去公因数。

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 13.2.1.2.5

重写表达式。

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

解题步骤 13.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

解题步骤 13.2.1.4

乘以 $- 1 (- \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 13.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

解题步骤 13.2.1.4.2

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

解题步骤 13.2.2

最终答案为 $- 1 + \frac{π}{2}$ 。

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

解题步骤 14

这些是 $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ 的局部极值。

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ 是一个局部最小值

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 15

微积分学 示例

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