微积分学示例

$r (x) = \frac{x^{3} + 1 x^{2}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} + x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2}] - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x^{3} + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.7

化简表达式。

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解题步骤 1.3.7.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - 2 (x^{3} + x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) + (- 2 x^{3} - 2 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x)$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 2 x) - 4 (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{2} x - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{1 + 2} - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.5

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.6

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{1 + 3} - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2

合并 $3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.4.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.3

从 $3 x^{4}$ 中减去 $2 x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} - 12 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

从 $x^{4} - 12 x^{2} - 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} - 12 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.3

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) + x \cdot - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.4

从 $x \cdot x^{3} + x (- 12 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.5

从 $x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

化简分母。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.3

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x^{3} - 12 x - 8)$ 且 $g (x) = {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x^{3} - 12 x - 8)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{3} - 12 x - 8$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x - 8) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x^{3} - 12 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.6

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12 + 0) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.7

将 $3 x^{2} - 12$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + (x^{3} - 12 x - 8) \cdot 1) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.9

将 $x^{3} - 12 x - 8$ 乘以 $1$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 2$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 移到 ${(x + 2)}^{2}$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 \cdot ({(x + 2)}^{2} (x - 2)) \frac{d}{d x} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.5

化简表达式。

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解题步骤 2.6.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 2.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 2$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

求微分。

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解题步骤 2.8.1

将 $2$ 移到 ${(x - 2)}^{2}$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot ({(x - 2)}^{2} (x + 2)) \frac{d}{d x} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5

化简表达式。

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解题步骤 2.8.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

化简。

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解题步骤 2.9.1

对 ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ 运用乘积法则。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.3

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4

化简分子。

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解题步骤 2.9.4.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$r'' (x) = \frac{(x + 2) (x + 2) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.9.4.2.1

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{(x (x + 2) + 2 (x + 2)) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.2.2

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.2.3

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.9.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.4

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) ((x - 2) (x - 2)) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.5

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.9.4.5.1

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.5.2

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.5.3

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.9.4.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.6.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.6.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.6.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.8

合并 $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$ 中相反的项。

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解题步骤 2.9.4.8.1

按照 $x^{2} (- 4 x)$ 和 $4 x \cdot x^{2}$ 重新排列因数。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} x + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.8.2

将 $- 4 x^{2} x$ 和 $4 x^{2} x$ 相加。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 0 + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.8.3

将 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.8.4

按照 $4 x \cdot 4$ 和 $4 (- 4 x)$ 重新排列因数。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 \cdot (4 x) + 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.8.5

从 $4 \cdot 4 x$ 中减去 $4 \cdot 4 x$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 0 + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.8.6

将 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.9

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.9.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.9.4.9.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{(x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.9.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.9.2

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 \cdot x^{2} + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.9.3

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x \cdot x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.9.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.9.4.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.9.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.9.5

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.9.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x^{2} + 16) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.10

从 $4 x^{2}$ 中减去 $16 x^{2}$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 12 x^{2} + 4 x^{2} + 16) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.11

将 $- 12 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.12

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.12.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.9.4.12.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 (x^{2} x) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.12.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 x^{2 + 1} + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.12.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 x^{3} + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.12.3

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 x^{3} - 12 x + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.13

将 $3 x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 12 x - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.14

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 24 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.15

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 24 x - 8)$ 。

$r'' (x) = \frac{x^{4} (4 x^{3}) + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.16.1

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.9.4.16.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.2.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.3

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{4} x + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.4

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.16.4.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.9.4.16.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.16.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.4.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.5

将 $- 8$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 \cdot x^{4} - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.6

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 8 \cdot (4 x^{2} x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.9.4.16.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 8 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 8 \cdot (4 x^{3 + 2}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.7.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 8 \cdot (4 x^{5}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.8

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.9

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 \cdot (- 24 x^{2} x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.16.10.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 \cdot (- 24 (x \cdot x^{2})) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.9.4.16.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.16.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 \cdot (- 24 x^{1 + 2}) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.10.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 \cdot (- 24 x^{3}) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.11

将 $- 8$ 乘以 $- 24$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.12

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.13

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 64 x^{3} + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.14

将 $- 24$ 乘以 $16$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 64 x^{3} - 384 x + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.16.15

将 $16$ 乘以 $- 8$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 64 x^{3} - 384 x - 128 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.17

从 $- 24 x^{5}$ 中减去 $32 x^{5}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 64 x^{3} - 384 x - 128 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.18

将 $192 x^{3}$ 和 $64 x^{3}$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.19

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.19.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.9.4.19.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- (x^{3} x) - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.19.1.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.19.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.19.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{3 + 1} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.19.1.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.19.2

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} - 1 \cdot (- 12 x \cdot x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.19.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.19.3.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} - 1 \cdot (- 12 (x \cdot x)) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.19.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} - 1 \cdot (- 12 x^{2}) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.19.4

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.19.5

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.20.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 ((x + 2) (x + 2)) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.9.4.20.2.1

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.2.2

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.2.3

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.9.4.20.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.20.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x^{2} + 4 x + 4) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.4

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) ((2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot 4) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.5

化简。

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解题步骤 2.9.4.20.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) ((2 x^{2} + 8 x + 2 \cdot 4) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) ((2 x^{2} + 8 x + 8) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{2} + 8 x + 8) (x - 2)$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.7

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.20.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.20.7.1.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.9.4.20.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.20.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.7.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.7.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.7.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.20.7.3.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.7.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x^{2} + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.7.4

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.7.5

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x - 16 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.8

将 $- 4 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x + 8 x - 16 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.9

将 $- 16 x$ 和 $8 x$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.10

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 ((x - 2) (x - 2)) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.11

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.9.4.20.11.1

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.11.2

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.11.3

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.9.4.20.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.20.12.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.12.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.12.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.12.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x^{2} - 4 x + 4) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.13

运用分配律。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + (2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.14

化简。

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解题步骤 2.9.4.20.14.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + (2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.14.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + (2 x^{2} - 8 x + 8) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.15

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{2} - 8 x + 8) (x + 2)$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 2 - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.16

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.20.16.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.20.16.1.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 2 - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.16.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.9.4.20.16.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.20.16.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 2 - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.16.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 2 - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.16.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.16.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.20.16.3.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 (x \cdot x) - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.16.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x^{2} - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.16.4

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x^{2} - 16 x + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.16.5

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x^{2} - 16 x + 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.17

从 $4 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.20.18

将 $- 16 x$ 和 $8 x$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.21

合并 $2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x + 16$ 中相反的项。

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解题步骤 2.9.4.21.1

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 0 - 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.21.2

将 $2 x^{3} - 8 x - 16 + 2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 8 x - 16 + 2 x^{3} - 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.21.3

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 8 x + 2 x^{3} - 8 x + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.21.4

将 $2 x^{3} - 8 x + 2 x^{3} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 8 x + 2 x^{3} - 8 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.22

将 $2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (4 x^{3} - 8 x - 8 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.23

从 $- 8 x$ 中减去 $8 x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (4 x^{3} - 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.24

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (4 x^{3} - 16 x)$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.25.1

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 1 \cdot (4 x^{4} x^{3}) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 1 \cdot (4 (x^{3} x^{4})) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 1 \cdot (4 x^{3 + 4}) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.2.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 1 \cdot (4 x^{7}) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.4

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 16 x^{4} x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.5.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 16 (x \cdot x^{4})) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.25.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 16 x^{1 + 4}) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.5.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 16 x^{5}) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.6

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.7

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.8.1

移动 $x^{3}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.8.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 \cdot (4 x^{5}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.9

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.10

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{2} x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.11.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.25.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{1 + 2}) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.11.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{3}) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.12

将 $12$ 乘以 $- 16$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.13

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 \cdot (4 x \cdot x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.14

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.14.1

移动 $x^{3}$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 \cdot (4 (x^{3} x)) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.14.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.14.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.9.4.25.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 \cdot (4 x^{3 + 1}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.14.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 \cdot (4 x^{4}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.15

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.16

使用乘法的交换性质重写。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} + 8 \cdot (- 16 x \cdot x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.17

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.25.17.1

移动 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} + 8 \cdot (- 16 (x \cdot x))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.17.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} + 8 \cdot (- 16 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.25.18

将 $8$ 乘以 $- 16$ 。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.26

将 $16 x^{5}$ 和 $48 x^{5}$ 相加。

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 64 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.27

从 $4 x^{7}$ 中减去 $4 x^{7}$ 。

$r'' (x) = \frac{- 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + 0 + 64 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.28

将 $- 56 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = \frac{- 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + 64 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.29

将 $- 56 x^{5}$ 和 $64 x^{5}$ 相加。

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.30

将 $- 8 x^{4}$ 和 $32 x^{4}$ 相加。

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} + 24 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 192 x^{3} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.31

从 $256 x^{3}$ 中减去 $192 x^{3}$ 。

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} + 24 x^{4} + 64 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.32

从 $64 x^{2}$ 中减去 $128 x^{2}$ 。

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} + 24 x^{4} + 64 x^{3} - 64 x^{2} - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33

从 $8 x^{5} + 24 x^{4} + 64 x^{3} - 64 x^{2} - 384 x - 128$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 2.9.4.33.1

从 $8 x^{5}$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 24 x^{4} + 64 x^{3} - 64 x^{2} - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.2

从 $24 x^{4}$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 8 (3 x^{4}) + 64 x^{3} - 64 x^{2} - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.3

从 $64 x^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 8 (3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) - 64 x^{2} - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.4

从 $- 64 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 8 (3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.5

从 $- 384 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 8 (3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.6

从 $- 128$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} + 8 (3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.7

从 $8 x^{5} + 8 (3 x^{4})$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.8

从 $8 (x^{5} + 3 x^{4}) + 8 (8 x^{3})$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.9

从 $8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2})$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.10

从 $8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2}) + 8 (- 48 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.33.11

从 $8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x) + 8 \cdot - 16$ 中分解出因数 $8$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5

合并项。

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解题步骤 2.9.5.1

将 ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5.2

将 ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.9.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}]$

解题步骤 4.1.2

$\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2}] - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

根据加法法则， $x^{3} + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.7

化简表达式。

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解题步骤 4.1.3.7.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - 2 (x^{3} + x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) + (- 2 x^{3} - 2 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x)$ 。

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解题步骤 4.1.4.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 2 x) - 4 (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.3.1.2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{2} x - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.3.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.3.1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{1 + 2} - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.5

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.2.6

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.4.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{1 + 3} - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.3.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.2

合并 $3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.4.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.2.2

将 $3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.3.3

从 $3 x^{4}$ 中减去 $2 x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} - 12 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.4

从 $x^{4} - 12 x^{2} - 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.4.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} - 12 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.4.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.4.3

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) + x \cdot - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.4.4

从 $x \cdot x^{3} + x (- 12 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.4.5

从 $x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.5

化简分母。

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解题步骤 4.1.4.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.5.3

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$f' (x) = \frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$r (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 3.06417777, - 0.69459271, 0, 3.75877048$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.2.2.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6.2.3

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.2.3.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6.2.4

最终解为使 ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

解题步骤 6.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 3.06417777, - 0.69459271, 0, 3.75877048$

解题步骤 8

计算在 $x = - 3.06417777$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8 ({(- 3.06417777)}^{5} + 3 {(- 3.06417777)}^{4} + 8 {(- 3.06417777)}^{3} - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{((- 3.06417777) + 2)}^{4} {((- 3.06417777) - 2)}^{4}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 3.06417777$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{8 (- 270.12811583 + 3 {(- 3.06417777)}^{4} + 8 {(- 3.06417777)}^{3} - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.2

对 $- 3.06417777$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 (- 270.12811583 + 3 \cdot 88.15680286 + 8 {(- 3.06417777)}^{3} - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.3

将 $3$ 乘以 $88.15680286$ 。

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 + 8 {(- 3.06417777)}^{3} - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.4

对 $- 3.06417777$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 + 8 \cdot - 28.77013326 - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.5

将 $8$ 乘以 $- 28.77013326$ 。

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 - 230.16106614 - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.6

对 $- 3.06417777$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 - 230.16106614 - 8 \cdot 9.38918542 - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.7

将 $- 8$ 乘以 $9.38918542$ 。

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 - 230.16106614 - 75.11348336 - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.8

将 $- 48$ 乘以 $- 3.06417777$ 。

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 - 230.16106614 - 75.11348336 + 147.08053307 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.9

将 $- 270.12811583$ 和 $264.4704086$ 相加。

$\frac{8 (- 5.65770723 - 230.16106614 - 75.11348336 + 147.08053307 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.10

从 $- 5.65770723$ 中减去 $230.16106614$ 。

$\frac{8 (- 235.81877337 - 75.11348336 + 147.08053307 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.11

从 $- 235.81877337$ 中减去 $75.11348336$ 。

$\frac{8 (- 310.93225673 + 147.08053307 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.12

将 $- 310.93225673$ 和 $147.08053307$ 相加。

$\frac{8 (- 163.85172366 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.1.13

从 $- 163.85172366$ 中减去 $16$ 。

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 3.06417777$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{{(- 1.06417777)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.2.2

从 $- 3.06417777$ 中减去 $2$ 。

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{{(- 1.06417777)}^{4} {(- 5.06417777)}^{4}}$

解题步骤 9.2.3

对 $- 1.06417777$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{1.28249811 {(- 5.06417777)}^{4}}$

解题步骤 9.2.4

对 $- 5.06417777$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{1.28249811 \cdot 657.71200782}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

将 $8$ 乘以 $- 179.85172366$ 。

$\frac{- 1438.8137893}{1.28249811 \cdot 657.71200782}$

解题步骤 9.3.2

将 $1.28249811$ 乘以 $657.71200782$ 。

$\frac{- 1438.8137893}{843.51440761}$

解题步骤 9.3.3

用 $- 1438.8137893$ 除以 $843.51440761$ 。

$- 1.70573706$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 3.06417777$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 3.06417777$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = - 3.06417777$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 3.06417777$ 替换变量 $x$ 。

$r (- 3.06417777) = \frac{{(- 3.06417777)}^{3} + 1 {(- 3.06417777)}^{2}}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $- 3.06417777$ 进行 $3$ 次方运算。

$r (- 3.06417777) = \frac{- 28.77013326 + 1 {(- 3.06417777)}^{2}}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

解题步骤 11.2.1.2

将 ${(- 3.06417777)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$r (- 3.06417777) = \frac{- 28.77013326 + {(- 3.06417777)}^{2}}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

解题步骤 11.2.1.3

对 $- 3.06417777$ 进行 $2$ 次方运算。

$r (- 3.06417777) = \frac{- 28.77013326 + 9.38918542}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

解题步骤 11.2.1.4

将 $- 28.77013326$ 和 $9.38918542$ 相加。

$r (- 3.06417777) = \frac{- 19.38094784}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $- 3.06417777$ 进行 $2$ 次方运算。

$r (- 3.06417777) = \frac{- 19.38094784}{9.38918542 - 4}$

解题步骤 11.2.2.2

从 $9.38918542$ 中减去 $4$ 。

$r (- 3.06417777) = \frac{- 19.38094784}{5.38918542}$

解题步骤 11.2.3

用 $- 19.38094784$ 除以 $5.38918542$ 。

$r (- 3.06417777) = - 3.59626665$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $- 3.59626665$ 。

$y = - 3.59626665$

解题步骤 12

计算在 $x = - 0.69459271$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8 ({(- 0.69459271)}^{5} + 3 {(- 0.69459271)}^{4} + 8 {(- 0.69459271)}^{3} - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{((- 0.69459271) + 2)}^{4} {((- 0.69459271) - 2)}^{4}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

对 $- 0.69459271$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{8 (- 0.16167806 + 3 {(- 0.69459271)}^{4} + 8 {(- 0.69459271)}^{3} - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.2

对 $- 0.69459271$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 (- 0.16167806 + 3 \cdot 0.23276672 + 8 {(- 0.69459271)}^{3} - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.3

将 $3$ 乘以 $0.23276672$ 。

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 + 8 {(- 0.69459271)}^{3} - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.4

对 $- 0.69459271$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 + 8 \cdot - 0.33511252 - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.5

将 $8$ 乘以 $- 0.33511252$ 。

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 - 2.68090023 - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.6

对 $- 0.69459271$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 - 2.68090023 - 8 \cdot 0.48245903 - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.7

将 $- 8$ 乘以 $0.48245903$ 。

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 - 2.68090023 - 3.85967227 - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.8

将 $- 48$ 乘以 $- 0.69459271$ 。

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 - 2.68090023 - 3.85967227 + 33.34045014 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.9

将 $- 0.16167806$ 和 $0.69830016$ 相加。

$\frac{8 (0.53662209 - 2.68090023 - 3.85967227 + 33.34045014 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.10

从 $0.53662209$ 中减去 $2.68090023$ 。

$\frac{8 (- 2.14427813 - 3.85967227 + 33.34045014 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.11

从 $- 2.14427813$ 中减去 $3.85967227$ 。

$\frac{8 (- 6.00395041 + 33.34045014 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.12

将 $- 6.00395041$ 和 $33.34045014$ 相加。

$\frac{8 (27.33649972 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.1.13

从 $27.33649972$ 中减去 $16$ 。

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 0.69459271$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{{1.30540728}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

解题步骤 13.2.2

从 $- 0.69459271$ 中减去 $2$ 。

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{{1.30540728}^{4} {(- 2.69459271)}^{4}}$

解题步骤 13.2.3

对 $1.30540728$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{2.90391655 {(- 2.69459271)}^{4}}$

解题步骤 13.2.4

对 $- 2.69459271$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{2.90391655 \cdot 52.71965054}$

解题步骤 13.3

化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

将 $8$ 乘以 $11.33649972$ 。

$\frac{90.69199782}{2.90391655 \cdot 52.71965054}$

解题步骤 13.3.2

将 $2.90391655$ 乘以 $52.71965054$ 。

$\frac{90.69199782}{153.09346609}$

解题步骤 13.3.3

用 $90.69199782$ 除以 $153.09346609$ 。

$0.59239626$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 0.69459271$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 0.69459271$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - 0.69459271$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 0.69459271$ 替换变量 $x$ 。

$r (- 0.69459271) = \frac{{(- 0.69459271)}^{3} + 1 {(- 0.69459271)}^{2}}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简分子。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- 0.69459271$ 进行 $3$ 次方运算。

$r (- 0.69459271) = \frac{- 0.33511252 + 1 {(- 0.69459271)}^{2}}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

解题步骤 15.2.1.2

将 ${(- 0.69459271)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$r (- 0.69459271) = \frac{- 0.33511252 + {(- 0.69459271)}^{2}}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

解题步骤 15.2.1.3

对 $- 0.69459271$ 进行 $2$ 次方运算。

$r (- 0.69459271) = \frac{- 0.33511252 + 0.48245903}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

解题步骤 15.2.1.4

将 $- 0.33511252$ 和 $0.48245903$ 相加。

$r (- 0.69459271) = \frac{0.1473465}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

解题步骤 15.2.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.2.1

对 $- 0.69459271$ 进行 $2$ 次方运算。

$r (- 0.69459271) = \frac{0.1473465}{0.48245903 - 4}$

解题步骤 15.2.2.2

从 $0.48245903$ 中减去 $4$ 。

$r (- 0.69459271) = \frac{0.1473465}{- 3.51754096}$

解题步骤 15.2.3

用 $0.1473465$ 除以 $- 3.51754096$ 。

$r (- 0.69459271) = - 0.04188906$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $- 0.04188906$ 。

$y = - 0.04188906$

解题步骤 16

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8 ({(0)}^{5} + 3 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{((0) + 2)}^{4} {((0) - 2)}^{4}}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简分子。

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解题步骤 17.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8 (0 + 3 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8 (0 + 3 \cdot 0 + 8 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8 (0 + 0 + 8 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8 (0 + 0 + 8 \cdot 0 - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.5

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8 (0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8 (0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.7

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8 (0 + 0 + 0 + 0 - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.8

将 $- 48$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8 (0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 (0 + 0 + 0 + 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 (0 + 0 + 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.11

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 (0 + 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 (0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.1.13

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$\frac{8 \cdot - 16}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.2

化简分母。

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解题步骤 17.2.1

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$\frac{8 \cdot - 16}{{(- 1 (0) + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.2.2

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{8 \cdot - 16}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.2.3

从 $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 \cdot - 16}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.2.4

对 $- 1 \cdot (0 - 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{8 \cdot - 16}{{(- 1)}^{4} \cdot {(0 - 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.2.5

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot - 16}{1 \cdot {(0 - 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.2.6

将 ${(0 - 2)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 \cdot - 16}{{(0 - 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 17.2.7

通过指数相加将 ${(0 - 2)}^{4}$ 乘以 ${(0 - 2)}^{4}$ 。

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解题步骤 17.2.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 \cdot - 16}{{(0 - 2)}^{4 + 4}}$

解题步骤 17.2.7.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{8 \cdot - 16}{{(0 - 2)}^{8}}$

解题步骤 17.3

将 $8$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{- 128}{{(0 - 2)}^{8}}$

解题步骤 17.4

化简分母。

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解题步骤 17.4.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 128}{{(- 2)}^{8}}$

解题步骤 17.4.2

对 $- 2$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{- 128}{256}$

解题步骤 17.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 17.5.1

约去 $- 128$ 和 $256$ 的公因数。

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解题步骤 17.5.1.1

从 $- 128$ 中分解出因数 $128$ 。

$\frac{128 (- 1)}{256}$

解题步骤 17.5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 17.5.1.2.1

从 $256$ 中分解出因数 $128$ 。

$\frac{128 \cdot - 1}{128 \cdot 2}$

解题步骤 17.5.1.2.2

约去公因数。

$\frac{128 \cdot - 1}{128 \cdot 2}$

解题步骤 17.5.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 17.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$r (0) = \frac{{(0)}^{3} + 1 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 4}$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简分子。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$r (0) = \frac{0 + 1 \cdot 0^{2}}{0^{2} - 4}$

解题步骤 19.2.1.2

将 $0^{2}$ 乘以 $1$ 。

$r (0) = \frac{0 + 0^{2}}{0^{2} - 4}$

解题步骤 19.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$r (0) = \frac{0 + 0}{0^{2} - 4}$

解题步骤 19.2.1.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$r (0) = \frac{0}{0^{2} - 4}$

解题步骤 19.2.2

化简分母。

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解题步骤 19.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$r (0) = \frac{0}{0 - 4}$

解题步骤 19.2.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$r (0) = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 19.2.3

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$r (0) = 0$

解题步骤 19.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 20

计算在 $x = 3.75877048$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8 ({(3.75877048)}^{5} + 3 {(3.75877048)}^{4} + 8 {(3.75877048)}^{3} - 8 {(3.75877048)}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{((3.75877048) + 2)}^{4} {((3.75877048) - 2)}^{4}}$

解题步骤 21

计算二阶导数。

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解题步骤 21.1

化简分子。

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解题步骤 21.1.1

对 $3.75877048$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{8 (750.28979452 + 3 \cdot {3.75877048}^{4} + 8 \cdot {3.75877048}^{3} - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.2

对 $3.75877048$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 (750.28979452 + 3 \cdot 199.61043052 + 8 \cdot {3.75877048}^{3} - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.3

将 $3$ 乘以 $199.61043052$ 。

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 8 \cdot {3.75877048}^{3} - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.4

对 $3.75877048$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 8 \cdot 53.10524582 - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.5

将 $8$ 乘以 $53.10524582$ 。

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 424.84196658 - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.6

对 $3.75877048$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 424.84196658 - 8 \cdot 14.12835554 - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.7

将 $- 8$ 乘以 $14.12835554$ 。

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 424.84196658 - 113.02684439 - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.8

将 $- 48$ 乘以 $3.75877048$ 。

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 424.84196658 - 113.02684439 - 180.42098321 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.9

将 $750.28979452$ 和 $598.83129158$ 相加。

$\frac{8 (1349.1210861 + 424.84196658 - 113.02684439 - 180.42098321 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.10

将 $1349.1210861$ 和 $424.84196658$ 相加。

$\frac{8 (1773.96305269 - 113.02684439 - 180.42098321 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.11

从 $1773.96305269$ 中减去 $113.02684439$ 。

$\frac{8 (1660.93620829 - 180.42098321 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.12

从 $1660.93620829$ 中减去 $180.42098321$ 。

$\frac{8 (1480.51522507 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.1.13

从 $1480.51522507$ 中减去 $16$ 。

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.2

化简分母。

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解题步骤 21.2.1

将 $3.75877048$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{{5.75877048}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

解题步骤 21.2.2

从 $3.75877048$ 中减去 $2$ 。

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{{5.75877048}^{4} \cdot {1.75877048}^{4}}$

解题步骤 21.2.3

对 $5.75877048$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{1099.81358577 \cdot {1.75877048}^{4}}$

解题步骤 21.2.4

对 $1.75877048$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{1099.81358577 \cdot 9.56834165}$

解题步骤 21.3

化简表达式。

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解题步骤 21.3.1

将 $8$ 乘以 $1464.51522507$ 。

$\frac{11716.12180061}{1099.81358577 \cdot 9.56834165}$

解题步骤 21.3.2

将 $1099.81358577$ 乘以 $9.56834165$ 。

$\frac{11716.12180061}{10523.39214424}$

解题步骤 21.3.3

用 $11716.12180061$ 除以 $10523.39214424$ 。

$1.11334079$

解题步骤 22

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 3.75877048$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 3.75877048$ 是一个极小值

解题步骤 23

求 $x = 3.75877048$ 时的 y 值。

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解题步骤 23.1

使用表达式中的 $3.75877048$ 替换变量 $x$ 。

$r (3.75877048) = \frac{{(3.75877048)}^{3} + 1 {(3.75877048)}^{2}}{{(3.75877048)}^{2} - 4}$

解题步骤 23.2

化简结果。

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解题步骤 23.2.1

化简分子。

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解题步骤 23.2.1.1

对 $3.75877048$ 进行 $3$ 次方运算。

$r (3.75877048) = \frac{53.10524582 + 1 \cdot {3.75877048}^{2}}{{3.75877048}^{2} - 4}$

解题步骤 23.2.1.2

将 ${3.75877048}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$r (3.75877048) = \frac{53.10524582 + {3.75877048}^{2}}{{3.75877048}^{2} - 4}$

解题步骤 23.2.1.3

对 $3.75877048$ 进行 $2$ 次方运算。

$r (3.75877048) = \frac{53.10524582 + 14.12835554}{{3.75877048}^{2} - 4}$

解题步骤 23.2.1.4

将 $53.10524582$ 和 $14.12835554$ 相加。

$r (3.75877048) = \frac{67.23360137}{{3.75877048}^{2} - 4}$

解题步骤 23.2.2

化简分母。

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解题步骤 23.2.2.1

对 $3.75877048$ 进行 $2$ 次方运算。

$r (3.75877048) = \frac{67.23360137}{14.12835554 - 4}$

解题步骤 23.2.2.2

从 $14.12835554$ 中减去 $4$ 。

$r (3.75877048) = \frac{67.23360137}{10.12835554}$

解题步骤 23.2.3

用 $67.23360137$ 除以 $10.12835554$ 。

$r (3.75877048) = 6.63815572$

解题步骤 23.2.4

最终答案为 $6.63815572$ 。

$y = 6.63815572$

解题步骤 24

这些是 $r (x) = \frac{x^{3} + 1 x^{2}}{x^{2} - 4}$ 的局部极值。

$(- 3.06417777, - 3.59626665)$ 是一个局部最大值

$(- 0.69459271, - 0.04188906)$ 是一个局部最小值

$(0, 0)$ 是一个局部最大值

$(3.75877048, 6.63815572)$ 是一个局部最小值

解题步骤 25

微积分学 示例

微积分学示例