微积分学示例

$r (x) = (40000 + \frac{10000}{3} x) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用求加法法则求导。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{10000}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)]$

解题步骤 1.1.2

组合 $\frac{10000}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.1.3

根据加法法则， $(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 40000 + \frac{10000 x}{3}$ 且 $g (x) = 30 - x$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \frac{d}{d x} [30 - x] + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.2

根据加法法则， $30 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.3

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.6

根据加法法则， $40000 + \frac{10000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.7

因为 $40000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.8

因为 $\frac{10000}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.11

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot - 1 + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.12

将 $- 1$ 移到 $40000 + \frac{10000 x}{3}$ 的左侧。

$- 1 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.13

将 $- 1 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ 重写为 $- (40000 + \frac{10000 x}{3})$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.14

将 $\frac{10000}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3}) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.2.15

将 $0$ 和 $\frac{10000}{3}$ 相加。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $6$ 移到 $40000 + \frac{10000 x}{3}$ 的左侧。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [6 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3})]$

解题步骤 1.3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $40000 + \frac{10000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

解题步骤 1.3.4

因为 $40000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

解题步骤 1.3.5

因为 $\frac{10000}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.3.7

将 $\frac{10000}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3})$

解题步骤 1.3.8

将 $0$ 和 $\frac{10000}{3}$ 相加。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{10000}{3})$

解题步骤 1.3.9

组合 $6$ 和 $\frac{10000}{3}$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{6 \cdot 10000}{3}$

解题步骤 1.3.10

将 $6$ 乘以 $10000$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{60000}{3}$

解题步骤 1.3.11

约去 $60000$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.11.1

从 $60000$ 中分解出因数 $3$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3}$

解题步骤 1.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 (1)}$

解题步骤 1.3.11.2.2

约去公因数。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.11.2.3

重写表达式。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{20000}{1}$

解题步骤 1.3.11.2.4

用 $20000$ 除以 $1$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3

合并项。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $40000$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.2

组合 $30$ 和 $\frac{10000}{3}$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{30 \cdot 10000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.3

将 $30$ 乘以 $10000$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{300000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.4

约去 $300000$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.4.1

从 $300000$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 (1)} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.4.2.2

约去公因数。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 \cdot 1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.4.2.3

重写表达式。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{100000}{1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.4.2.4

用 $100000$ 除以 $1$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.5

组合 $\frac{10000}{3}$ 和 $x$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.6

将 $- 40000$ 和 $100000$ 相加。

$- \frac{10000 x}{3} + 60000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

解题步骤 1.4.3.7

从 $- \frac{10000 x}{3}$ 中减去 $\frac{10000 x}{3}$ 。

$- 2 \frac{10000 x}{3} + 60000 + 20000$

解题步骤 1.4.3.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{10000 x}{3}$ 。

$\frac{- 2 (10000 x)}{3} + 60000 + 20000$

解题步骤 1.4.3.9

将 $10000$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 20000 x}{3} + 60000 + 20000$

解题步骤 1.4.3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20000 x}{3} + 60000 + 20000$

解题步骤 1.4.3.11

将 $60000$ 和 $20000$ 相加。

$- \frac{20000 x}{3} + 80000$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{20000 x}{3} + 80000$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{20000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [80000]$ 。

$r'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{20000 x}{3}) + \frac{d}{d x} (80000)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{20000 x}{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- \frac{20000}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{20000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{20000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (80000)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (80000)$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} + \frac{d}{d x} (80000)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $80000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $80000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- \frac{20000}{3}$ 和 $0$ 相加。

$r'' (x) = - \frac{20000}{3}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用求加法法则求导。

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解题步骤 4.1.1.1

组合 $\frac{10000}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)]$

解题步骤 4.1.1.2

组合 $\frac{10000}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.1.3

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \frac{d}{d x} [30 - x] + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.2

根据加法法则， $30 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.6

根据加法法则， $40000 + \frac{10000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.7

因为 $40000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.8

因为 $\frac{10000}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.11

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot - 1 + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.12

将 $- 1$ 移到 $40000 + \frac{10000 x}{3}$ 的左侧。

$- 1 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.13

将 $- 1 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ 重写为 $- (40000 + \frac{10000 x}{3})$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.14

将 $\frac{10000}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3}) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.2.15

将 $0$ 和 $\frac{10000}{3}$ 相加。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $6$ 移到 $40000 + \frac{10000 x}{3}$ 的左侧。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [6 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3})]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$

解题步骤 4.1.3.3

根据加法法则， $40000 + \frac{10000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

解题步骤 4.1.3.4

因为 $40000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

解题步骤 4.1.3.5

因为 $\frac{10000}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10000 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.7

将 $\frac{10000}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3})$

解题步骤 4.1.3.8

将 $0$ 和 $\frac{10000}{3}$ 相加。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{10000}{3})$

解题步骤 4.1.3.9

组合 $6$ 和 $\frac{10000}{3}$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{6 \cdot 10000}{3}$

解题步骤 4.1.3.10

将 $6$ 乘以 $10000$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{60000}{3}$

解题步骤 4.1.3.11

约去 $60000$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.11.1

从 $60000$ 中分解出因数 $3$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3}$

解题步骤 4.1.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 (1)}$

解题步骤 4.1.3.11.2.2

约去公因数。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.11.2.3

重写表达式。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{20000}{1}$

解题步骤 4.1.3.11.2.4

用 $20000$ 除以 $1$ 。

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

运用分配律。

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.2

运用分配律。

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3

合并项。

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解题步骤 4.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $40000$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.2

组合 $30$ 和 $\frac{10000}{3}$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{30 \cdot 10000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.3

将 $30$ 乘以 $10000$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{300000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.4

约去 $300000$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.3.4.1

从 $300000$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.3.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 (1)} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.4.2.2

约去公因数。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 \cdot 1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.4.2.3

重写表达式。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{100000}{1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.4.2.4

用 $100000$ 除以 $1$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - x \frac{10000}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.5

组合 $\frac{10000}{3}$ 和 $x$ 。

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.6

将 $- 40000$ 和 $100000$ 相加。

$- \frac{10000 x}{3} + 60000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.7

从 $- \frac{10000 x}{3}$ 中减去 $\frac{10000 x}{3}$ 。

$- 2 \frac{10000 x}{3} + 60000 + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{10000 x}{3}$ 。

$\frac{- 2 (10000 x)}{3} + 60000 + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.9

将 $10000$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 20000 x}{3} + 60000 + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20000 x}{3} + 60000 + 20000$

解题步骤 4.1.4.3.11

将 $60000$ 和 $20000$ 相加。

$f' (x) = - \frac{20000 x}{3} + 80000$

解题步骤 4.2

$r (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{20000 x}{3} + 80000$ 。

$- \frac{20000 x}{3} + 80000$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $80000$ 。

$- \frac{20000 x}{3} = - 80000$

解题步骤 5.3

等式两边同时乘以 $- \frac{3}{20000}$ 。

$- \frac{3}{20000} (- \frac{20000 x}{3}) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4

化简方程的两边。

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解题步骤 5.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.4.1.1

化简 $- \frac{3}{20000} (- \frac{20000 x}{3})$ 。

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解题步骤 5.4.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1.1.1

将 $- \frac{3}{20000}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3}{20000} (- \frac{20000 x}{3}) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.1.2

将 $- \frac{20000 x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.1.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1)}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{20000} (- 20000 x) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.2

约去 $20000$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1.2.1

从 $- 20000 x$ 中分解出因数 $20000$ 。

$\frac{- 1}{20000} (20000 (- x)) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{20000} (20000 (- x)) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.2.3

重写表达式。

$- - x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.3

乘。

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解题步骤 5.4.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.1.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简 $- \frac{3}{20000} \cdot - 80000$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去 $20000$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

将 $- \frac{3}{20000}$ 中前置负号移到分子中。

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot - 80000$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

从 $- 80000$ 中分解出因数 $20000$ 。

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot (20000 (- 4))$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

约去公因数。

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot (20000 \cdot - 4)$

解题步骤 5.4.2.1.1.4

重写表达式。

$x = - 3 \cdot - 4$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$x = 12$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 12$

解题步骤 8

计算在 $x = 12$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{20000}{3}$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 12$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 12$ 是一个极大值

解题步骤 10

求 $x = 12$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $12$ 替换变量 $x$ 。

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 (4))) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2.1.1.1.2

约去公因数。

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 \cdot 4)) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2.1.1.1.3

重写表达式。

$r (12) = (40000 + 10000 \cdot 4) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2.1.1.2

将 $10000$ 乘以 $4$ 。

$r (12) = (40000 + 40000) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2.1.2

将 $40000$ 和 $40000$ 相加。

$r (12) = 80000 (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$r (12) = 80000 (30 - 12) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2.1.4

从 $30$ 中减去 $12$ 。

$r (12) = 80000 \cdot 18 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2.1.5

将 $80000$ 乘以 $18$ 。

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

解题步骤 10.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.6.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.6.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 (4))) \cdot 6$

解题步骤 10.2.1.6.1.2

约去公因数。

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 6$

解题步骤 10.2.1.6.1.3

重写表达式。

$r (12) = 1440000 + (40000 + 10000 \cdot 4) \cdot 6$

解题步骤 10.2.1.6.2

将 $10000$ 乘以 $4$ 。

$r (12) = 1440000 + (40000 + 40000) \cdot 6$

解题步骤 10.2.1.7

将 $40000$ 和 $40000$ 相加。

$r (12) = 1440000 + 80000 \cdot 6$

解题步骤 10.2.1.8

将 $80000$ 乘以 $6$ 。

$r (12) = 1440000 + 480000$

解题步骤 10.2.2

将 $1440000$ 和 $480000$ 相加。

$r (12) = 1920000$

解题步骤 10.2.3

最终答案为 $1920000$ 。

$y = 1920000$

解题步骤 11

这些是 $r (x) = (40000 + \frac{10000}{3} x) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)$ 的局部极值。

$(12, 1920000)$ 是一个局部最大值

解题步骤 12

微积分学 示例

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