微积分学示例

$s (t) = \frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $25000$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$ 。

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = e^{- t}$ 且 $g (t) = {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3

将 ${({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- t$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.4.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.5.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.5.3.2

将 $- 1$ 移到 ${(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ 的左侧。

$25000 \frac{- 1 \cdot ({(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.5.3.3

将 $- 1 {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ 重写为 $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = 1 + 5 e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.6.3

使用 $1 + 5 e^{- t}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.7

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.7.2

根据加法法则， $1 + 5 e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.7.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.7.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ 相加。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.7.5

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.7.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.6.1

将 $5$ 移到 $1 + 5 e^{- t}$ 的左侧。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} (5 \cdot (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.7.6.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $- t$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.8.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.8.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t - t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.10

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.11

从 $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.11.1

从 $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.11.2

从 $- 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.11.3

从 $(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 1.12

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.12.1

从 ${(1 + 5 e^{- t})}^{4}$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.12.2

约去公因数。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.12.3

重写表达式。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.13

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.14

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \cdot 1}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.16

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.16.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.16.2

组合 $25000$ 和 $\frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$ 。

$\frac{25000 (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.17.1

运用分配律。

$\frac{25000 ((- 1 \cdot 1 - (5 e^{- t})) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.2

运用分配律。

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t} - (5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.3

运用分配律。

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.17.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.17.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25000 (- 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.1.2

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$\frac{25000 (- e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $25000$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.1.4

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.17.4.1.4.1

移动 $e^{- t}$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 (e^{- t} e^{- t}))) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t - t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.1.4.3

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- 2 t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.1.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.1.6

将 $- 5$ 乘以 $25000$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.1.7

将 $10$ 乘以 $25000$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 250000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.4.2

将 $- 125000 e^{- 2 t}$ 和 $250000 e^{- 2 t}$ 相加。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 125000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 1.17.5

重新排序项。

$\frac{125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.17.6.1

从 $125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.17.6.1.1

从 $125000 e^{- 2 t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6.1.2

从 $- 25000 e^{- t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6.1.3

从 $25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})$ 中分解出因数 $25000$ 。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6.2

将 $e^{- 2 t}$ 重写为 ${(e^{- t})}^{2}$ 。

$\frac{25000 (5 {(e^{- t})}^{2} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6.3

使 $u = e^{- t}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{- t}$ 。

$\frac{25000 (5 u^{2} - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6.4

从 $5 u^{2} - u$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.17.6.4.1

从 $5 u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{25000 (u (5 u) - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6.4.2

从 $- u$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{25000 (u (5 u) + u \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6.4.3

从 $u (5 u) + u \cdot - 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{25000 (u (5 u - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17.6.5

使用 $e^{- t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $25000$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$ 对 $t$ 的导数是 $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}]$ 。

$s'' (t) = 25000 \frac{d}{d t} (\frac{e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = e^{- t} (5 e^{- t} - 1)$ 且 $g (t) = {(5 e^{- t} + 1)}^{3}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{({(5 e^{- t} + 1)}^{3})}^{2}})$

解题步骤 2.3

将 ${({(5 e^{- t} + 1)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3 \cdot 2}})$

解题步骤 2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = e^{- t}$ 且 $g (t) = 5 e^{- t} - 1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} - 1) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $5 e^{- t} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (\frac{d}{d t} (5 e^{- t}) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.5.2

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 \frac{d}{d t} (e^{- t}) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- t$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.6.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.7

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 e^{- t} (- \frac{d}{d t} t) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.7.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} \frac{d}{d t} t + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.7.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.7.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} + 0) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.7.6

将 $- 5 e^{- t}$ 和 $0$ 相加。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t}) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.8

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

移动 $e^{- t}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} e^{- t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t - t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.8.3

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- 2 t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.9

将 $- 5$ 移到 $e^{- 2 t}$ 的左侧。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 \cdot e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.10.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- t$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.10.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.10.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.11

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} (- \frac{d}{d t} t)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.11.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.11.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} \cdot - 1) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.11.3.2

将 $- 1$ 移到 $(5 e^{- t} - 1) e^{- t}$ 的左侧。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - 1 \cdot ((5 e^{- t} - 1) e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.11.3.3

将 $- 1 (5 e^{- t} - 1)$ 重写为 $- (5 e^{- t} - 1)$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 5 e^{- t} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $5 e^{- t} + 1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.12.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.12.3

使用 $5 e^{- t} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (3 {(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.13

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.13.2

从 ${(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1])$ 中分解出因数 ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.2.1

从 ${(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})$ 中分解出因数 ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.13.2.2

从 $- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1])$ 中分解出因数 ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) + {(5 e^{- t} + 1)}^{2} (- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.13.2.3

从 ${(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) + {(5 e^{- t} + 1)}^{2} (- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1]))$ 中分解出因数 ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

解题步骤 2.14

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.14.1

从 ${(5 e^{- t} + 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} {(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.14.2

约去公因数。

解题步骤 2.14.3

重写表达式。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.15

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1

根据加法法则， $5 e^{- t} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.15.2

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 \frac{d}{d t} (e^{- t}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.16

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.16.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $- t$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (\frac{d}{d u (4)} (e^{u_{4}}) \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.16.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ 等于 $a^{u_{4}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.16.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.17

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 e^{- t} (- \frac{d}{d t} t) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.17.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} \frac{d}{d t} t + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.17.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.17.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.17.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} + 0)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.17.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1

将 $- 5 e^{- t}$ 和 $0$ 相加。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.17.6.2

将 $- 5$ 乘以 $- 3$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.18

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.18.1

移动 $e^{- t}$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 (e^{- t} e^{- t}) (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- t - t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.18.3

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.19

组合 $25000$ 和 $\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.1

运用分配律。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} + (- (5 e^{- t}) + 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.2

运用分配律。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.3

运用分配律。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.4

运用分配律。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.1.1

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.1.1.1

移动 $e^{- t}$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 (e^{- t} e^{- t})) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t - t}) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.1.1.3

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.1.4

将 $e^{- t}$ 乘以 $1$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.2

从 $- 5 e^{- 2 t}$ 中减去 $5 e^{- 2 t}$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(5 e^{- t} + 1) (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.3.1

运用分配律。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 1 (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.3.2

运用分配律。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.3.3

运用分配律。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- t} e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.2

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{- 2 t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.4.1.2.1

移动 $e^{- 2 t}$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 (e^{- 2 t} e^{- t})) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- 2 t - t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.2.3

从 $- 2 t$ 中减去 $t$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- 3 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.3

将 $5$ 乘以 $- 10$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.4

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.4.1.4.1

移动 $e^{- t}$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 (e^{- t} e^{- t}) + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- t - t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.4.3

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.5

将 $- 10 e^{- 2 t}$ 乘以 $1$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} - 10 e^{- 2 t} + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.1.6

将 $e^{- t}$ 乘以 $1$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} - 10 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.4.2

从 $5 e^{- 2 t}$ 中减去 $10 e^{- 2 t}$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} - 5 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.5

运用分配律。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t}) + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.6.1

将 $- 50$ 乘以 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.6.2

将 $- 5$ 乘以 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.7

通过指数相加将 $e^{- 2 t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.5.1.7.1

移动 $e^{- t}$ 。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 (e^{- t} e^{- 2 t}) \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- t - 2 t} \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.7.3

从 $- t$ 中减去 $2 t$ 。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 3 t} \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.8

将 $5$ 乘以 $15$ 。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (75 e^{- 3 t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.9

将 $75$ 乘以 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.10

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} + 25000 (- 15 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.1.11

将 $- 15$ 乘以 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} - 375000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.2

将 $- 1250000 e^{- 3 t}$ 和 $1875000 e^{- 3 t}$ 相加。

$s'' (t) = \frac{625000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} - 375000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.5.3

从 $- 125000 e^{- 2 t}$ 中减去 $375000 e^{- 2 t}$ 。

$s'' (t) = \frac{625000 e^{- 3 t} + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.6

从 $625000 e^{- 3 t} + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.6.1

从 $625000 e^{- 3 t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.6.2

从 $25000 e^{- t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t}) - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.6.3

从 $- 500000 e^{- 2 t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.6.4

从 $25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t})$ 中分解出因数 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.20.6.5

从 $25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})$ 中分解出因数 $25000$ 。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t} - 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

因为 $25000$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$ 。

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$

解题步骤 4.1.2

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

将 ${({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- t$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.4.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.5.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.5.3.2

将 $- 1$ 移到 ${(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ 的左侧。

$25000 \frac{- 1 \cdot ({(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.5.3.3

将 $- 1 {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ 重写为 $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = 1 + 5 e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.6.3

使用 $1 + 5 e^{- t}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.7

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.7.2

根据加法法则， $1 + 5 e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.7.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.7.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ 相加。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.7.5

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.7.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.7.6.1

将 $5$ 移到 $1 + 5 e^{- t}$ 的左侧。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} (5 \cdot (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.7.6.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $- t$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.8.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.8.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t - t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.10

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.11

从 $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.11.1

从 $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.11.2

从 $- 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.11.3

从 $(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

解题步骤 4.1.12

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.12.1

从 ${(1 + 5 e^{- t})}^{4}$ 中分解出因数 $1 + 5 e^{- t}$ 。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.12.2

约去公因数。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.12.3

重写表达式。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.13

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.14

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \cdot 1}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.16

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.16.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.16.2

组合 $25000$ 和 $\frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$ 。

$\frac{25000 (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.17.1

运用分配律。

$\frac{25000 ((- 1 \cdot 1 - (5 e^{- t})) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.2

运用分配律。

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t} - (5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.3

运用分配律。

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.17.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.17.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25000 (- 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.1.2

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$\frac{25000 (- e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $25000$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.1.4

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.17.4.1.4.1

移动 $e^{- t}$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 (e^{- t} e^{- t}))) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t - t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.1.4.3

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- 2 t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.1.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.1.6

将 $- 5$ 乘以 $25000$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.1.7

将 $10$ 乘以 $25000$ 。

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 250000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.4.2

将 $- 125000 e^{- 2 t}$ 和 $250000 e^{- 2 t}$ 相加。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 125000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.5

重新排序项。

$\frac{125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.17.6.1

从 $125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.17.6.1.1

从 $125000 e^{- 2 t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6.1.2

从 $- 25000 e^{- t}$ 中分解出因数 $25000$ 。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6.1.3

从 $25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})$ 中分解出因数 $25000$ 。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6.2

将 $e^{- 2 t}$ 重写为 ${(e^{- t})}^{2}$ 。

$\frac{25000 (5 {(e^{- t})}^{2} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6.3

使 $u = e^{- t}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{- t}$ 。

$\frac{25000 (5 u^{2} - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6.4

从 $5 u^{2} - u$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.17.6.4.1

从 $5 u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{25000 (u (5 u) - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6.4.2

从 $- u$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{25000 (u (5 u) + u \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6.4.3

从 $u (5 u) + u \cdot - 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{25000 (u (5 u - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.17.6.5

使用 $e^{- t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (t) = \frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2

$s (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $t$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- t} = 0$

$5 e^{- t} - 1 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $e^{- t}$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

将 $e^{- t}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- t} = 0$

解题步骤 5.3.2.2

求解 $t$ 的 $e^{- t} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- t}) = \ln (0)$

解题步骤 5.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.3.2.2.3

$e^{- t} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.3.3

将 $5 e^{- t} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

将 $5 e^{- t} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$5 e^{- t} - 1 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

求解 $t$ 的 $5 e^{- t} - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$5 e^{- t} = 1$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $5 e^{- t} = 1$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.2.1

将 $5 e^{- t} = 1$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 e^{- t}}{5} = \frac{1}{5}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 e^{- t}}{5} = \frac{1}{5}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2.1.2

用 $e^{- t}$ 除以 $1$ 。

$e^{- t} = \frac{1}{5}$

解题步骤 5.3.3.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- t}) = \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 5.3.3.2.4

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.4.1

通过将 $- t$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- t})$ 。

$- t \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 5.3.3.2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- t = \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 5.3.3.2.5

将 $- t = \ln (\frac{1}{5})$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.5.1

将 $- t = \ln (\frac{1}{5})$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

解题步骤 5.3.3.2.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

解题步骤 5.3.3.2.5.2.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

解题步骤 5.3.3.2.5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.5.3.1

移动 $\frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$ 中分母的负号。

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 5.3.3.2.5.3.2

将 $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{5})$ 重写为 $- \ln (\frac{1}{5})$ 。

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 5.3.4

最终解为使 $25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 8

计算在 $t = - \ln (\frac{1}{5})$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{25000 (25 e^{- 3 (- \ln (\frac{1}{5}))} + e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

乘以 $- 3 (- \ln (\frac{1}{5}))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{25000 (25 e^{3 \ln (\frac{1}{5})} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (\frac{1}{5})$ 。

$\frac{25000 (25 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{3})} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{25000 (25 {(\frac{1}{5})}^{3} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.3

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{25000 (25 \frac{1^{3}}{5^{3}} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{25000 (25 \frac{1}{5^{3}} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.5

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{25000 (25 (\frac{1}{125}) + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.6

约去 $25$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{25000 (25 \frac{1}{25 (5)} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.6.2

约去公因数。

$\frac{25000 (25 \frac{1}{25 \cdot 5} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.6.3

重写表达式。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.7

乘以 $- - \ln (\frac{1}{5})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{1 \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.7.2

将 $\ln (\frac{1}{5})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{\ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.8

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.9

乘以 $- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{2 \ln (\frac{1}{5})})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.9.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (\frac{1}{5})$ 。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{2})})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.10

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 {(\frac{1}{5})}^{2})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.11

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 \frac{1^{2}}{5^{2}})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.12

一的任意次幂都为一。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 \frac{1}{5^{2}})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.13

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 (\frac{1}{25}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.14

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.14.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 (- 4) \frac{1}{25})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.14.2

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 \cdot - 4 \frac{1}{5 \cdot 5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.14.3

约去公因数。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 \cdot - 4 \frac{1}{5 \cdot 5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.14.4

重写表达式。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 4 (\frac{1}{5}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.15

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{- 4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.16

将负号移到分数的前面。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.17

在公分母上合并分子。

$\frac{25000 (\frac{1 + 1}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{25000 (\frac{2}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.19

在公分母上合并分子。

$\frac{25000 \frac{2 - 4}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.20

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\frac{25000 (\frac{- 2}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{25000 \cdot - 1 \frac{2}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.22

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.22.1

提取负因数。

$\frac{- (25000 (\frac{2}{5}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.22.2

组合 $25000$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{- \frac{25000 \cdot 2}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.22.3

将 $25000$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \frac{50000}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.1.23

用 $50000$ 除以 $5$ 。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

乘以 $- - \ln (\frac{1}{5})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{1 \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $\ln (\frac{1}{5})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{\ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 (\frac{1}{5}) + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.2.3

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.3.1

约去公因数。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 (\frac{1}{5}) + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.2.3.2

重写表达式。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(1 + 1)}^{4}}$

解题步骤 9.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{2^{4}}$

解题步骤 9.2.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{16}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $10000$ 。

$\frac{- 10000}{16}$

解题步骤 9.3.2

用 $- 10000$ 除以 $16$ 。

$- 625$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = - \ln (\frac{1}{5})$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $t = - \ln (\frac{1}{5})$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- \ln (\frac{1}{5})$ 替换变量 $t$ 。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))}}{{(1 + 5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))})}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))}$ 移动到分母。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.1

乘以 $- - \ln (\frac{1}{5})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{1 \ln (\frac{1}{5})})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

解题步骤 11.2.2.1.2

将 $\ln (\frac{1}{5})$ 乘以 $1$ 。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{\ln (\frac{1}{5})})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

解题步骤 11.2.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 (\frac{1}{5}))}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

解题步骤 11.2.2.3

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.3.1

约去公因数。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 (\frac{1}{5}))}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

解题步骤 11.2.2.3.2

重写表达式。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 1)}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

解题步骤 11.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{2^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

解题步骤 11.2.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

解题步骤 11.2.2.6

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (\frac{1}{5})$ 。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{- 1})}}$

解题步骤 11.2.2.7

指数函数和对数函数互为反函数。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 {(\frac{1}{5})}^{- 1}}$

解题步骤 11.2.2.8

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 \cdot 5}$

解题步骤 11.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.3.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{20}$

解题步骤 11.2.3.2

用 $25000$ 除以 $20$ 。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = 1250$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $1250$ 。

$y = 1250$

解题步骤 12

这些是 $s (t) = \frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ 的局部极值。

$(- \ln (\frac{1}{5}), 1250)$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例