微积分学示例

$P (x) = \ln (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = - x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.5

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.7

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.8

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27 x$ 对 $x$ 的导数是 $27 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.10

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + 0)$

解题步骤 1.2.12

将 $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序 $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$ 的因式。

$(- 3 x^{2} + 24 x + 27) \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ 乘以 $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.1

从 $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.1.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.1.3

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.1.4

从 $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.1.5

从 $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.3.3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{3 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.2.1.2

把 $8$ 重写为 $- 1$ 加 $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.2.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{3 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{3 ((- x - 1) (x - 9))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x) - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.6

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.7

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.8

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.9

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.10

从 $- (x^{3}) - (- 12 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

解题步骤 1.3.11

从 $27 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x) + 1}$

解题步骤 1.3.12

从 $- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) + 1}$

解题步骤 1.3.13

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)}$

解题步骤 1.3.14

从 $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

解题步骤 1.3.15

将 $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ 重写为 $- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

解题步骤 1.3.16

约去公因数。

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

解题步骤 1.3.17

重写表达式。

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}]$ 。

$P'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x + 1) (x - 9)$ 且 $g (x) = x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 9)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 9$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 9) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (1 + 0) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) \cdot 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) \cdot 1) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.8.2

将 $x - 9$ 乘以 $1$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + x - 9) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x + 1 - 9) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.8.4

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.9

根据加法法则， $x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.11

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.13

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.14

因为 $- 27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 27 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.16

将 $- 27$ 乘以 $1$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.17

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 + 0)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.18

合并分数。

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解题步骤 2.4.18.1

将 $3 x^{2} - 24 x - 27$ 和 $0$ 相加。

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.4.18.2

组合 $3$ 和 $\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$ 。

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) + (- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8)) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

化简分子。

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解题步骤 2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8)$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{3} x + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.5.3.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.3

将 $- 8$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 \cdot x^{3} - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{2} x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.5.3.1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{3}) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.6

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.7

将 $- 8$ 乘以 $- 12$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.8

使用乘法的交换性质重写。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 x \cdot x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.2.9.1

移动 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 (x \cdot x)) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.9.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 x^{2}) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.10

将 $- 27$ 乘以 $2$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.11

将 $- 8$ 乘以 $- 27$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.2.13

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.3

从 $- 8 x^{3}$ 中减去 $24 x^{3}$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.4

从 $96 x^{2}$ 中减去 $54 x^{2}$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 42 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.5

从 $216 x$ 中减去 $2 x$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 42 x^{2} + 214 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.6

运用分配律。

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4}) + 3 (- 32 x^{3}) + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.7

化简。

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解题步骤 2.5.3.1.7.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} + 3 (- 32 x^{3}) + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.7.2

将 $- 32$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.7.3

将 $42$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.7.4

将 $214$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.7.5

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x - 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 1) (x - 9)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.9.1

运用分配律。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x (x - 9) - 1 (x - 9)) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.9.2

运用分配律。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 9 - 1 (x - 9)) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.9.3

运用分配律。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1.1.1

移动 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- (x \cdot x) - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.1.2

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.2

从 $9 x$ 中减去 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 8 x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x^{2} + 8 x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2 + 2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{4}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.4

使用乘法的交换性质重写。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2} x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.5.1

移动 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.5.3.1.12.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.6

将 $- 1$ 乘以 $- 24$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.7

将 $- 27$ 乘以 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.8

使用乘法的交换性质重写。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.9.1

移动 $x^{2}$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 (x^{2} x)) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.9.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.5.3.1.12.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x^{3}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.10

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.11

使用乘法的交换性质重写。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 x \cdot x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.12

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.12.1

移动 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 (x \cdot x)) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.12.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 x^{2}) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.13

将 $8$ 乘以 $- 24$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.14

将 $- 27$ 乘以 $8$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.15

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.16

将 $- 24$ 乘以 $9$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.17

将 $9$ 乘以 $- 27$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.13

将 $24 x^{3}$ 和 $24 x^{3}$ 相加。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} + 27 x^{2} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.14

从 $27 x^{2}$ 中减去 $192 x^{2}$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 165 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.15

将 $- 165 x^{2}$ 和 $27 x^{2}$ 相加。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 138 x^{2} - 216 x - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.16

从 $- 216 x$ 中减去 $216 x$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 138 x^{2} - 432 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.17

运用分配律。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (48 x^{3}) + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.18

化简。

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解题步骤 2.5.3.1.18.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 3 (48 x^{3}) + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.18.2

将 $48$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.18.3

将 $- 138$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.18.4

将 $- 432$ 乘以 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.1.18.5

将 $3$ 乘以 $- 243$ 。

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2

从 $6 x^{4}$ 中减去 $9 x^{4}$ 。

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.3

将 $- 96 x^{3}$ 和 $144 x^{3}$ 相加。

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.4

从 $126 x^{2}$ 中减去 $414 x^{2}$ 。

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} + 642 x + 24 - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.5

从 $642 x$ 中减去 $1296 x$ 。

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x + 24 - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.6

从 $24$ 中减去 $729$ 。

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4

从 $- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

从 $- 3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

从 $48 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.3

从 $- 288 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4

从 $- 654 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.5

从 $- 705$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.6

从 $3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.7

从 $3 (- x^{4} + 16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8

从 $3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2}) + 3 (- 218 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.9

从 $3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x) + 3 (- 235)$ 中分解出因数 $3$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.5

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.6

从 $16 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) - (- 16 x^{3}) - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.7

从 $- (x^{4}) - (- 16 x^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3}) - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.8

从 $- 96 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3}) - (96 x^{2}) - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.9

从 $- (x^{4} - 16 x^{3}) - (96 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.10

从 $- 218 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - (218 x) - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.11

从 $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - (218 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.12

将 $- 235$ 重写为 $- 1 (235)$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 1 \cdot 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.13

从 $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 1 (235)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.14

将 $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)$ 重写为 $- 1 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)$ 。

$P'' (x) = \frac{3 (- 1 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.15

将负号移到分数的前面。

$P'' (x) = - \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = - x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

解题步骤 4.1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.7

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.8

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27 x$ 对 $x$ 的导数是 $27 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.10

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.2.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + 0)$

解题步骤 4.1.2.12

将 $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

重新排序 $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$ 的因式。

$f' (x) = (- 3 x^{2} + 24 x + 27) (\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1})$

解题步骤 4.1.3.2

将 $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ 乘以 $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$ 。

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.3.3.1

从 $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.1.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.1.3

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.1.4

从 $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.1.5

从 $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.1.3.3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.2.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.2.1.2

把 $8$ 重写为 $- 1$ 加 $9$

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.2.1.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.1.3.3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f' (x) = \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f' (x) = \frac{3 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$f' (x) = \frac{3 ((- x - 1) (x - 9))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

$f' (x) = \frac{3 (- x - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.6

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.7

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.8

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.9

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.10

从 $- (x^{3}) - (- 12 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

解题步骤 4.1.3.11

从 $27 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x) + 1}$

解题步骤 4.1.3.12

从 $- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) + 1}$

解题步骤 4.1.3.13

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.1.3.14

从 $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

解题步骤 4.1.3.15

将 $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ 重写为 $- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

解题步骤 4.1.3.16

约去公因数。

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

解题步骤 4.1.3.17

重写表达式。

$f' (x) = \frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

解题步骤 4.2

$P (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ 。

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$3 (x + 1) (x - 9) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.3.3

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 5.3.4

最终解为使 $3 (x + 1) (x - 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 9$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1 = 0$

解题步骤 6.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 1.90410133, - 0.03766968, 13.94177101$

解题步骤 6.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 1.90410133, x = - 0.03766968, x = 13.94177101$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 9, - 1.90410133, - 0.03766968$

解题步骤 8

计算在 $x = 9$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3 ({(9)}^{4} - 16 {(9)}^{3} + 96 {(9)}^{2} + 218 (9) + 235)}{{({(9)}^{3} - 12 {(9)}^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $9$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{3 (6561 - 16 \cdot 9^{3} + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3 (6561 - 16 \cdot 729 + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 16$ 乘以 $729$ 。

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.4

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 96 \cdot 81 + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.5

将 $96$ 乘以 $81$ 。

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 7776 + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.6

将 $218$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 7776 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.7

从 $6561$ 中减去 $11664$ 。

$- \frac{3 (- 5103 + 7776 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.8

将 $- 5103$ 和 $7776$ 相加。

$- \frac{3 (2673 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.9

将 $2673$ 和 $1962$ 相加。

$- \frac{3 (4635 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.10

将 $4635$ 和 $235$ 相加。

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 12 \cdot 81 - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3

将 $- 12$ 乘以 $81$ 。

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 972 - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.4

将 $- 27$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 972 - 243 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.5

从 $729$ 中减去 $972$ 。

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 243 - 243 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.6

从 $- 243$ 中减去 $243$ 。

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 486 - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.7

从 $- 486$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 487)}^{2}}$

解题步骤 9.2.8

对 $- 487$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3 \cdot 4870}{237169}$

解题步骤 9.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

将 $3$ 乘以 $4870$ 。

$- \frac{14610}{237169}$

解题步骤 9.3.2

约去 $14610$ 和 $237169$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $14610$ 中分解出因数 $487$ 。

$- \frac{487 (30)}{237169}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

从 $237169$ 中分解出因数 $487$ 。

$- \frac{487 \cdot 30}{487 \cdot 487}$

解题步骤 9.3.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{487 \cdot 30}{487 \cdot 487}$

解题步骤 9.3.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{30}{487}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 9$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 9$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 9$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$P (9) = \ln (- {(9)}^{3} + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$P (9) = \ln (- 1 \cdot 729 + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $729$ 。

$P (9) = \ln (- 729 + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

解题步骤 11.2.1.3

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$P (9) = \ln (- 729 + 12 \cdot 81 + 27 (9) + 1)$

解题步骤 11.2.1.4

将 $12$ 乘以 $81$ 。

$P (9) = \ln (- 729 + 972 + 27 (9) + 1)$

解题步骤 11.2.1.5

将 $27$ 乘以 $9$ 。

$P (9) = \ln (- 729 + 972 + 243 + 1)$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $- 729$ 和 $972$ 相加。

$P (9) = \ln (243 + 243 + 1)$

解题步骤 11.2.2.2

将 $243$ 和 $243$ 相加。

$P (9) = \ln (486 + 1)$

解题步骤 11.2.2.3

将 $486$ 和 $1$ 相加。

$P (9) = \ln (487)$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $\ln (487)$ 。

$y = \ln (487)$

解题步骤 12

计算在 $x = - 1.90410133$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{({(- 1.90410133)}^{3} - 12 {(- 1.90410133)}^{2} - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $- 1.90410133$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 12 {(- 1.90410133)}^{2} - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1.90410133$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 12 \cdot 3.62560188 - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.3

将 $- 12$ 乘以 $3.62560188$ 。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 43.50722259 - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.4

将 $- 27$ 乘以 $- 1.90410133$ 。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 43.50722259 + 51.41073596 - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2

化简表达式。

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解题步骤 13.2.1

从 $- 6.90351337$ 中减去 $43.50722259$ 。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 50.41073596 + 51.41073596 - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.2

将 $- 50.41073596$ 和 $51.41073596$ 相加。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(0.99999999 - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3

从 $0.99999999$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(0)}^{2}}$

解题步骤 13.2.4

对 $0$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{0}$

解题步骤 13.2.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{0}$

解题步骤 13.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 1.90410133) \cup (- 1.90410133, - 0.03766968) \cup (- 0.03766968, 9) \cup (9, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, - 1.90410133)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$P' (- 4) = \frac{3 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

解题步骤 14.2.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 14.2.2.1.1

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$P' (- 4) = \frac{3 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

解题步骤 14.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$P' (- 4) = \frac{- 9 (- 4 - 9)}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

解题步骤 14.2.2.1.3

从 $- 4$ 中减去 $9$ 。

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

解题步骤 14.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

解题步骤 14.2.2.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 12 \cdot 16 - 27 \cdot - 4 - 1}$

解题步骤 14.2.2.2.3

将 $- 12$ 乘以 $16$ 。

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 192 - 27 \cdot - 4 - 1}$

解题步骤 14.2.2.2.4

将 $- 27$ 乘以 $- 4$ 。

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 192 + 108 - 1}$

解题步骤 14.2.2.2.5

从 $- 64$ 中减去 $192$ 。

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 256 + 108 - 1}$

解题步骤 14.2.2.2.6

将 $- 256$ 和 $108$ 相加。

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 148 - 1}$

解题步骤 14.2.2.2.7

从 $- 148$ 中减去 $1$ 。

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 149}$

解题步骤 14.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 14.2.2.3.1

将 $- 9$ 乘以 $- 13$ 。

$P' (- 4) = \frac{117}{- 149}$

解题步骤 14.2.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$P' (- 4) = - \frac{117}{149}$

解题步骤 14.2.2.4

最终答案为 $- \frac{117}{149}$ 。

$- \frac{117}{149}$

解题步骤 14.3

将区间 $(- 1.90410133, - 0.03766968)$ 内的任一数字（例如 $- 1$ ）代入一阶导数 $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$P' (- 1) = \frac{3 ((- 1) + 1) ((- 1) - 9)}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 14.3.2.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$P' (- 1) = \frac{3 \cdot (0 (- 1 - 9))}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

解题步骤 14.3.2.1.2

合并指数。

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解题步骤 14.3.2.1.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$P' (- 1) = \frac{0 (- 1 - 9)}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

解题步骤 14.3.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $- 1 - 9$ 。

$P' (- 1) = \frac{0}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

解题步骤 14.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.3.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

解题步骤 14.3.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 \cdot 1 - 27 \cdot - 1 - 1}$

解题步骤 14.3.2.2.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 - 27 \cdot - 1 - 1}$

解题步骤 14.3.2.2.4

将 $- 27$ 乘以 $- 1$ 。

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 + 27 - 1}$

解题步骤 14.3.2.2.5

从 $- 1$ 中减去 $12$ 。

$P' (- 1) = \frac{0}{- 13 + 27 - 1}$

解题步骤 14.3.2.2.6

将 $- 13$ 和 $27$ 相加。

$P' (- 1) = \frac{0}{14 - 1}$

解题步骤 14.3.2.2.7

从 $14$ 中减去 $1$ 。

$P' (- 1) = \frac{0}{13}$

解题步骤 14.3.2.3

用 $0$ 除以 $13$ 。

$P' (- 1) = 0$

解题步骤 14.3.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 14.4

将区间 $(- 0.03766968, 9)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$P' (0) = \frac{3 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

化简分子。

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解题步骤 14.4.2.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$P' (0) = \frac{3 \cdot (1 (0 - 9))}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$P' (0) = \frac{3 (0 - 9)}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.1.3

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.4.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 12 \cdot 0 - 27 \cdot 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.2.3

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 - 27 \cdot 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.2.4

将 $- 27$ 乘以 $0$ 。

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 + 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.2.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.2.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 1}$

解题步骤 14.4.2.2.7

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{- 1}$

解题步骤 14.4.2.3

化简表达式。

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解题步骤 14.4.2.3.1

将 $3$ 乘以 $- 9$ 。

$P' (0) = \frac{- 27}{- 1}$

解题步骤 14.4.2.3.2

用 $- 27$ 除以 $- 1$ 。

$P' (0) = 27$

解题步骤 14.4.2.4

最终答案为 $27$ 。

$27$

解题步骤 14.5

将区间 $(9, \infty)$ 内的任一数字（例如 $11$ ）代入一阶导数 $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.5.1

使用表达式中的 $11$ 替换变量 $x$ 。

$P' (11) = \frac{3 ((11) + 1) ((11) - 9)}{{(11)}^{3} - 12 {(11)}^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

解题步骤 14.5.2

化简结果。

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解题步骤 14.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 14.5.2.1.1

将 $11$ 和 $1$ 相加。

$P' (11) = \frac{3 \cdot (12 (11 - 9))}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

解题步骤 14.5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$P' (11) = \frac{36 (11 - 9)}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

解题步骤 14.5.2.1.3

从 $11$ 中减去 $9$ 。

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

解题步骤 14.5.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.5.2.2.1

对 $11$ 进行 $3$ 次方运算。

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

解题步骤 14.5.2.2.2

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 12 \cdot 121 - 27 \cdot 11 - 1}$

解题步骤 14.5.2.2.3

将 $- 12$ 乘以 $121$ 。

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 1452 - 27 \cdot 11 - 1}$

解题步骤 14.5.2.2.4

将 $- 27$ 乘以 $11$ 。

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 1452 - 297 - 1}$

解题步骤 14.5.2.2.5

从 $1331$ 中减去 $1452$ 。

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 121 - 297 - 1}$

解题步骤 14.5.2.2.6

从 $- 121$ 中减去 $297$ 。

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 418 - 1}$

解题步骤 14.5.2.2.7

从 $- 418$ 中减去 $1$ 。

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 419}$

解题步骤 14.5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 14.5.2.3.1

将 $36$ 乘以 $2$ 。

$P' (11) = \frac{72}{- 419}$

解题步骤 14.5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$P' (11) = - \frac{72}{419}$

解题步骤 14.5.2.4

最终答案为 $- \frac{72}{419}$ 。

$- \frac{72}{419}$

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = - 1.90410133$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 14.7

由于一阶导数在 $x = - 0.03766968$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 0.03766968$ 是极小值。

$x = - 0.03766968$ 是一个极小值

解题步骤 14.8

由于一阶导数在 $x = 9$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 9$ 是极大值。

$x = 9$ 是一个极大值

解题步骤 14.9

这些是 $P (x) = \ln (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$ 的局部极值。

$x = - 0.03766968$ 是一个极小值

$x = 9$ 是一个极大值

$x = - 0.03766968$ 是一个极小值

$x = 9$ 是一个极大值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例