微积分学示例

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ 。

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3 i$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 \sin (t) i$ 对 $t$ 的导数是 $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 。

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 5 j$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5 \cos (3 t) j$ 对 $t$ 的导数是 $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ 。

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 t$ 。

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3.3

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.3.7

将 $- 3$ 乘以 $- 5$ 。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $k$ 对于 $t$ 是常数，所以 $e^{- 7 t} k$ 对 $t$ 的导数是 $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ 。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

解题步骤 1.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 7 t$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 7 t$ 。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

解题步骤 1.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

解题步骤 1.4.2.3

使用 $- 7 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

解题步骤 1.4.3

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

解题步骤 1.4.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

解题步骤 1.4.6

将 $- 7$ 移到 $e^{- 7 t}$ 的左侧。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

重新排序项。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

解题步骤 1.5.2

将 $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ 中的因式重新排序。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ 。

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3 i$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 i \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.2.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $15 j$ 对于 $t$ 是常数，所以 $15 j \sin (3 t)$ 对 $t$ 的导数是 $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 t$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3.3

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3.6

将 $3$ 移到 $\cos (3 t)$ 的左侧。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.3.7

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 7 k$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7 k e^{- 7 t}$ 对 $t$ 的导数是 $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

解题步骤 2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 7 t$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 7 t$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

解题步骤 2.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

解题步骤 2.4.2.3

使用 $- 7 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

解题步骤 2.4.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

解题步骤 2.4.6

将 $- 7$ 移到 $e^{- 7 t}$ 的左侧。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

解题步骤 2.4.7

将 $- 7$ 乘以 $- 7$ 。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

解题步骤 4

计算在 $t = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

解题步骤 5

计算二阶导数。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

解题步骤 5.1.2

将 $0$ 乘以 $- 3$ 。

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 乘以 $i$ 。

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

解题步骤 5.1.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

解题步骤 5.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

解题步骤 5.1.6

将 $45$ 乘以 $1$ 。

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

解题步骤 5.1.7

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

解题步骤 5.1.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

解题步骤 5.1.9

将 $49$ 乘以 $1$ 。

$0 + 45 j + 49 k$

解题步骤 5.2

将 $0$ 和 $45 j$ 相加。

$45 j + 49 k$

解题步骤 6

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 7

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