微积分学示例

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 \cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

解题步骤 2.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 4

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5

分离分数。

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

约去公因数。

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9

分离分数。

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 11

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

解题步骤 12

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 13

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 \tan (x) = 1$

解题步骤 14

将 $- 2 \tan (x) = 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $- 2 \tan (x) = 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 14.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 14.2.1.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 14.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1

将负号移到分数的前面。

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 15

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

解题步骤 16

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

计算 $\arctan (- \frac{1}{2})$ 。

$x = - 0.4636476$

解题步骤 17

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

解题步骤 18

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

将 $2 π$ 加上 $- 0.4636476 - (3.14159265)$ 。

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 18.2

得出的角 $2.67794504$ 是正角度且与 $- 0.4636476 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 2.67794504$

解题步骤 19

方程 $x = - 0.4636476$ 的解。

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

解题步骤 20

计算在 $x = - 0.4636476$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

解题步骤 21

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 0.4636476$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 0.4636476$ 是一个极大值

解题步骤 22

求 $x = - 0.4636476$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 22.1

使用表达式中的 $- 0.4636476$ 替换变量 $x$ 。

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

解题步骤 22.2

最终答案为 $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ 。

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

解题步骤 23

计算在 $x = 2.67794504$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

解题步骤 24

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2.67794504$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2.67794504$ 是一个极小值

解题步骤 25

求 $x = 2.67794504$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1

使用表达式中的 $2.67794504$ 替换变量 $x$ 。

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

解题步骤 25.2

最终答案为 $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ 。

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

解题步骤 26

这些是 $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ 的局部极值。

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ 是一个局部最大值

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ 是一个局部最小值

解题步骤 27

微积分学 示例

微积分学示例