微积分学示例

$k (x) = x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{2 x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 1.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.9

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

重新排序项。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 1.10.2

将 $3$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ 。

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$k'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.9

在公分母上合并分子。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.10

化简分子。

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解题步骤 2.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.10.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.11

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.12

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2)) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.14

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

解题步骤 2.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

解题步骤 2.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (2 x)))$

解题步骤 2.3.4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)))$

解题步骤 2.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.9

在公分母上合并分子。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.10

化简分子。

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解题步骤 2.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.11

将负号移到分数的前面。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.13

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.15

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \cdot 2))$

解题步骤 2.3.16

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{2 (e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{6 (e^{2 x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.3

从 $6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.4

约去公因数。

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解题步骤 2.4.3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.4.2

约去公因数。

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.4.3

重写表达式。

$k'' (x) = \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.4.4

用 $3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 (x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.6

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{2 (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

解题步骤 2.4.3.8

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} \cdot (2 e^{2 x})$

解题步骤 2.4.3.9

组合 $2$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 3)}{2} \cdot e^{2 x}$

解题步骤 2.4.3.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot e^{2 x}$

解题步骤 2.4.3.11

组合 $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$

解题步骤 2.4.3.12

从 $6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2}$

解题步骤 2.4.3.13

约去公因数。

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解题步骤 2.4.3.13.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 (1)}$

解题步骤 2.4.3.13.2

约去公因数。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.3.13.3

重写表达式。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{1}$

解题步骤 2.4.3.13.4

用 $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ 除以 $1$ 。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$

解题步骤 2.4.3.14

将 $3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ 和 $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ 相加。

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解题步骤 2.4.3.14.1

移动 $e^{2 x}$ 。

$k'' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.2

将 $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ 和 $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ 相加。

$k'' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$k'' (x) = 6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.3.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 4.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.1.6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.1.7

化简分子。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 4.1.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.1.9

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 4.1.10

化简。

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解题步骤 4.1.10.1

重新排序项。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 4.1.10.2

将 $3$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$f' (x) = 2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.2

$k (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

解题步骤 5.2

求每项中都有的公因数 $e^{2 x} x$ 。

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$

解题步骤 5.3

代入 $u$ 替换 $e^{2 x} x$ 。

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}} = 0$

解题步骤 5.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.4.1

通过方程两边同时减去 $\frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$ 的方法将其移到方程右边。

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2

化简 $2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

对 $e x^{2 x}$ 运用乘积法则。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} {(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2

将 ${(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

约去 $2 x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x (2)}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.2.2

约去公因数。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x \cdot 2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.2.3

重写表达式。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

解题步骤 5.4.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.4.3.1

在等式两边都加上 $\frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ 。

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.2

要将 $2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ 。

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} \cdot \frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.3

组合 $2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ 和 $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ 。

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}})}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.5.1

通过指数相加将 $e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ 乘以 $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ 。

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解题步骤 5.4.3.5.1.1

移动 $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ 。

$\frac{2 (e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x} + \frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.4

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 1 + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.5

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.6

约去 $8 x + 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.5.1.6.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.6.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.6.3

从 $4 (2 x) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.6.4

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.5.1.6.4.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 (x)}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.6.4.2

约去公因数。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.6.4.3

重写表达式。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2

通过指数相加将 $x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.4.3.5.2.1

移动 $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ 。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} (x^{\frac{4 x + 1}{2}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1}{2} + \frac{4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.4

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 1 + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.5

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6

约去 $8 x + 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.5.2.6.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.3

从 $2 (4 x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.4

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.5.2.6.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 (1)}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.4.2

约去公因数。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 \cdot 1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.4.3

重写表达式。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 2}{1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.4.4

用 $4 x + 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.5

代入 $x$ 替换 $u$ 。

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.6.1

从 $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 中分解出因数 $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.6.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 5.6.1.1.1

移动 $e^{2 x}$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

解题步骤 5.6.1.1.2

移动 $e^{2 x}$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

解题步骤 5.6.1.2

从 $2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

解题步骤 5.6.1.3

从 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$ 中分解出因数 $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2}) = 0$

解题步骤 5.6.1.4

从 $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2}$ 中分解出因数 $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{2}) = 0$

解题步骤 5.6.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

解题步骤 5.6.3

化简。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

解题步骤 5.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{2 x} = 0$

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

解题步骤 5.8

将 $e^{2 x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

将 $e^{2 x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{2 x} = 0$

解题步骤 5.8.2

求解 $x$ 的 $e^{2 x} = 0$ 。

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解题步骤 5.8.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.8.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.8.2.3

$e^{2 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.9

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.9.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 5.9.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.9.2.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 5.9.2.2

化简指数。

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解题步骤 5.9.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.9.2.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.9.2.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.9.2.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 5.9.2.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.2.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 5.9.2.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 5.9.2.2.1.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 5.9.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.9.2.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.10

将 $2 x + \frac{3}{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.10.1

将 $2 x + \frac{3}{2}$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

解题步骤 5.10.2

求解 $x$ 的 $2 x + \frac{3}{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.10.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{3}{2}$ 。

$2 x = - \frac{3}{2}$

解题步骤 5.10.2.2

将 $2 x = - \frac{3}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.10.2.2.1

将 $2 x = - \frac{3}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

解题步骤 5.10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.10.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

解题步骤 5.10.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

解题步骤 5.10.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.10.2.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.10.2.2.3.2

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.10.2.2.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.10.2.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - \frac{3}{4}$

解题步骤 5.11

最终解为使 $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{3}{4}$

解题步骤 5.12

排除不能使 $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ 成立的解。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 6.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x^{1}}}{2}$

解题步骤 6.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 6.2

将 $\sqrt{x^{3}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} < 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.3.2

化简方程。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

从根式下提出各项。

$x < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x < 0$

解题步骤 6.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{1}}$

解题步骤 9.3

计算指数。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0}$

解题步骤 9.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{0}$

解题步骤 9.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例