微积分学示例

$k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 1.4

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.6

合并分数。

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解题步骤 1.6.1

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.6.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.7.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.7.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.7.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.8

将 $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.9

合并。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 1.10

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 1.11

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 1.11.2

重写表达式。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 1.12

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.12.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.12.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

解题步骤 1.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 1.12.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 1.12.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.14

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.15

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.16

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.17

化简分子。

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解题步骤 1.17.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.17.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.18

化简项。

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解题步骤 1.18.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.18.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.18.3

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.18.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.18.5

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.18.6

约去公因数。

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.18.7

重写表达式。

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.19

化简每一项。

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解题步骤 1.19.1

将 $\frac{\ln (x)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.19.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 且 $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

约去公因数。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2.2

重写表达式。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ 相加。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.4

组合 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.6

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.2

在公分母上合并分子。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3 - 1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.7

化简 $x^{1}$ 。

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.11

在公分母上合并分子。

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.12

化简分子。

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解题步骤 2.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.13

将负号移到分数的前面。

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{- x \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.15

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.16

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.16.1

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.16.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.16.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.16.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.16.3

在公分母上合并分子。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.16.4

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

解题步骤 2.18

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.19

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.20

在公分母上合并分子。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.21

化简分子。

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解题步骤 2.21.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.21.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.22

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.23

要将 $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.24

组合 $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.25

在公分母上合并分子。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.26

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 2 (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.27

组合 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 2$ 。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.28

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.29

从 $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.30

约去公因数。

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解题步骤 2.30.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.30.2

约去公因数。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.30.3

重写表达式。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.30.4

用 $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.31

将 $\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$ 重写为乘积形式。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.32

将 $\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33

化简。

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解题步骤 2.33.1

运用分配律。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.2

化简分子。

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解题步骤 2.33.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.33.2.1.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.2.1.2

乘以 $- 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))$ 。

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解题步骤 2.33.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.2.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.33.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 3})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.2.2

从 $- x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.3

重新排序项。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.4

从 $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.33.4.1

从 $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.4.2

从 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.4.3

从 $x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4)}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.33.5

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.33.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.33.6.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

解题步骤 2.33.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

解题步骤 2.33.6.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.33.6.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 2.33.6.5

在公分母上合并分子。

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 2.33.6.6

化简分子。

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解题步骤 2.33.6.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

解题步骤 2.33.6.6.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 4.1.4

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.6

合并分数。

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解题步骤 4.1.6.1

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.6.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.7.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.7.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.8

将 $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.9

合并。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.1.10

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.1.11

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.11.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.1.11.2

重写表达式。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.1.12

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.12.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.12.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

解题步骤 4.1.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 4.1.12.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.1.12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 4.1.12.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.14

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.15

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.16

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.17

化简分子。

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解题步骤 4.1.17.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.17.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.18

化简项。

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解题步骤 4.1.18.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.18.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.18.3

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.18.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.18.5

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.18.6

约去公因数。

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.18.7

重写表达式。

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.19

化简每一项。

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解题步骤 4.1.19.1

将 $\frac{\ln (x)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.19.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2

$k (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$

解题步骤 5.3.2

将 $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (x^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ 除以 $1$ 。

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$

解题步骤 5.3.3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})} = e^{1}$

解题步骤 5.3.4

使用对数的定义将 $\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{1} = x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

将方程重写为 $x^{\frac{1}{2}} = e^{1}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = e$

解题步骤 5.3.5.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{1})}^{2}$

解题步骤 5.3.5.3

化简指数。

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解题步骤 5.3.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.5.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.5.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.5.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

解题步骤 5.3.5.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

解题步骤 5.3.5.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(e^{1})}^{2}$

解题步骤 5.3.5.3.1.1.2

化简。

$x = {(e^{1})}^{2}$

解题步骤 5.3.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.5.3.2.1

将 ${(e^{1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.5.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = e^{1 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.5.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = e^{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{\sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 6.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x^{3}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$x^{3} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.3.3.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.3.3.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6.4

将 $\ln (\sqrt{x})$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x} \leq 0$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{x}}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 6.5.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 6.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.5.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.5.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

解题步骤 6.5.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

解题步骤 6.5.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 6.5.2.2.1.2

化简。

$x \leq 0^{2}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x \leq 0$

解题步骤 6.6

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 6.7

将 $\sqrt{x^{3}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} < 0$

解题步骤 6.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.8.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.8.2

化简方程。

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解题步骤 6.8.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.1.1

从根式下提出各项。

$x < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.8.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.8.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 6.8.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.8.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x < 0$

解题步骤 6.9

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = e^{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = e^{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{\ln ({(e^{2})}^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 ${(e^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (e^{3}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

使用对数规则把 $3$ 移到指数外部。

$\frac{3 \ln (e) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.1.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{3 \cdot 1 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.1.5

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 1}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.1

将 ${(e^{2})}^{\frac{5}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

解题步骤 9.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

解题步骤 9.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{- 1}{2 e^{5}}$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 e^{5}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = e^{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = e^{2}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = e^{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $e^{2}$ 替换变量 $x$ 。

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

去掉圆括号。

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

解题步骤 11.2.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.2.1

使用对数规则把 $2$ 移到指数外部。

$k (e^{2}) = \frac{2 \ln (e)}{\sqrt{e^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$k (e^{2}) = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{e^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k (e^{2}) = \frac{2}{\sqrt{e^{2}}}$

解题步骤 11.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$k (e^{2}) = \frac{2}{e}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $\frac{2}{e}$ 。

$y = \frac{2}{e}$

解题步骤 12

这些是 $k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ 的局部极值。

$(e^{2}, \frac{2}{e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例