微积分学示例

$P (x) = \frac{- {0.1}^{2} + 100 x - 60}{4000 x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{- 1 \cdot 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

解题步骤 1.1.2

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0.01$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{- 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

解题步骤 1.1.2.2

从 $- 0.01$ 中减去 $60$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{4000 x}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $\frac{1}{4000}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{100 x - 60.01}{4000 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$ 。

$\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 100 x - 60.01$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [100 x - 60.01] - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $100 x - 60.01$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]$ 。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100 x$ 对 $x$ 的导数是 $100 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

将 $100$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 60.01$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 60.01$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + 0) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $100$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \cdot 100 - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $100$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 \cdot x - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.8

合并分数。

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解题步骤 1.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.8.2

将 $\frac{1}{4000}$ 乘以 $\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$ 。

$\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{4000 x^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{100 x - (100 x) - - 60.01}{4000 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

将 $100$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{100 x - 100 x - - 60.01}{4000 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 60.01$ 。

$\frac{100 x - 100 x + 60.01}{4000 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $100 x$ 中减去 $100 x$ 。

$\frac{0 + 60.01}{4000 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.3

将 $0$ 和 $60.01$ 相加。

$\frac{60.01}{4000 x^{2}}$

解题步骤 1.4.3

从 $60.01$ 中分解出因数 $60.01$ 。

$\frac{60.01 (1)}{4000 x^{2}}$

解题步骤 1.4.4

从 $4000 x^{2}$ 中分解出因数 $4000$ 。

$\frac{60.01 (1)}{4000 (x^{2})}$

解题步骤 1.4.5

分离分数。

$\frac{60.01}{4000} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.6

用 $60.01$ 除以 $4000$ 。

$0.0150025 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.7

组合 $0.0150025$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{0.0150025}{x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $0.0150025$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{0.0150025}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $0.0150025 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$P'' (x) = 0.0150025 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 2.4

将 $- 2$ 乘以 $0.0150025$ 。

$P'' (x) = - 0.030005 x^{- 3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$P'' (x) = - 0.030005 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.5.2

合并项。

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解题步骤 2.5.2.1

组合 $- 0.030005$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$P'' (x) = \frac{- 0.030005}{x^{3}}$

解题步骤 2.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$P'' (x) = - \frac{0.030005}{x^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{0.0150025}{x^{2}} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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