微积分学示例

$x \sqrt[3]{x - 6}$

解题步骤 1

将 $x \sqrt[3]{x - 6}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 6}$ 重写成 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 6$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

使用 $x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8.4

组合 $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.11

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.12.2

将 $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

解题步骤 2.14

将 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.15

要将 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.16

组合 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.17

在公分母上合并分子。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.18

通过指数相加将 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.18.1

移动 ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.18.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.18.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.18.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.19

化简 ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ 。

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.20

将 $3$ 移到 $x - 6$ 的左侧。

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.21.1

运用分配律。

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.21.2.1

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21.2.2

将 $x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21.3

从 $4 x - 18$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.21.3.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21.3.2

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21.3.3

从 $2 (2 x) + 2 (- 9)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x - 9$ 且 $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.3.7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.3.7.2

将 $2$ 移到 ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 6$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.4.3

使用 $x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.8.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.9

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.9.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2 {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.10

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.12

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.13

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.13.2

将 $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.13.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.3.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.3

将 $- 2 x + 9$ 乘以 $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{(- 2 x + 9) \cdot 2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.4

将 $2$ 移到 $- 2 x + 9$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{2 \cdot (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.5

乘以 $2 \frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.3.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (2 (- 2 x + 9))}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.6

要将 $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.7

组合 $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9

以因式分解的形式重写 $\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.3.9.1

从 $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.3.9.1.1

从 $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.1.2

从 $4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.3

通过指数相加将 ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.3.9.3.1

移动 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.3.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.4

化简 $3 {(x - 6)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x + 3 \cdot - 6 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.6

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x - 18 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.7

从 $3 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 18 + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9.8

将 $- 18$ 和 $9$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.4.1

将 $\frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.2

将 $\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 3.14.4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.4

通过指数相加将 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.14.4.4.1

移动 ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 ({(x - 6)}^{\frac{4}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 3.14.4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.4.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.4.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 6}$ 重写成 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 6$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.3

使用 $x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.6

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.8.4

组合 $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.9

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.11

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.12.2

将 $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

解题步骤 5.1.14

将 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.1.15

要将 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.16

组合 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.17

在公分母上合并分子。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.18

通过指数相加将 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.18.1

移动 ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.18.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.18.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.18.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.19

化简 ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ 。

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.20

将 $3$ 移到 $x - 6$ 的左侧。

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.21

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.21.1

运用分配律。

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.21.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.21.2.1

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.21.2.2

将 $x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.21.3

从 $4 x - 18$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.21.3.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.21.3.2

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.21.3.3

从 $2 (2 x) + 2 (- 9)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$2 (2 x - 9) = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

将 $2 (2 x - 9) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

将 $2 (2 x - 9) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.3.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.3.1.2.1.2

用 $2 x - 9$ 除以 $1$ 。

$2 x - 9 = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.3.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$2 x - 9 = 0$

解题步骤 6.3.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$2 x = 9$

解题步骤 6.3.3

将 $2 x = 9$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1

将 $2 x = 9$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

解题步骤 6.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

解题步骤 6.3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{9}{2}$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}$ 重写成 ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.2.2.1

化简 ${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.2.2.1.1

对 $3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3

将 ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x - 6)}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 {(x - 6)}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.3.1

将 $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.3.1.1

将 $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 7.3.3.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 7.3.3.1.2.1.2

用 ${(x - 6)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 7.3.3.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

${(x - 6)}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.2

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 7.3.3.3

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = \frac{9}{2}, 6$

解题步骤 9

计算在 $x = \frac{9}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 ((\frac{9}{2}) - 9)}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

从 $4 ((\frac{9}{2}) - 9)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

从 $9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 ({((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.2.3

重写表达式。

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1)}{{((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 \frac{1 - 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3.4.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4 (\frac{- 1}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3.6

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.6.1

提取负因数。

$\frac{- (4 (\frac{1}{2}))}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3.6.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- \frac{4}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.3.7

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.1

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.4.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.4.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.4.1

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 12}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.4.4.2

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{- 3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.4.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.4.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.6.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.4.6.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 10.4.7

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 10.4.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 10.4.9

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.9.1

约去公因数。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 10.4.9.2

重写表达式。

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{5} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 10.4.10

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{- 1 \cdot 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 10.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 10.6

将分子乘以分母的倒数。

$- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$

解题步骤 10.7

乘以 $- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.7.2

组合 $2$ 和 $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.7.3

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{5}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.7.3.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{5}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.7.3.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.7.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{1 + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.7.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.7.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{3 + 5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.7.3.4

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{2^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{9}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{9}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = \frac{9}{2}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\frac{9}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{9}{2}) = (\frac{9}{2}) \sqrt[3]{(\frac{9}{2}) - 6}$

解题步骤 12.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 12.2.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 12.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 6 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 12.2.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.4.1

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 12}{2}}$

解题步骤 12.2.4.2

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 3}{2}}$

解题步骤 12.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 12.2.6

将 $- \frac{3}{2}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.6.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{3}{2})}$

解题步骤 12.2.6.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{3}{2})}$

解题步骤 12.2.7

从根式下提出各项。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

解题步骤 12.2.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

解题步骤 12.2.9

将 $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}})$

解题步骤 12.2.10

将 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))$

解题步骤 12.2.11

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.11.1

将 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

解题步骤 12.2.11.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

解题步骤 12.2.11.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

解题步骤 12.2.11.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})$

解题步骤 12.2.11.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.11.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

解题步骤 12.2.11.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

解题步骤 12.2.11.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

解题步骤 12.2.11.5.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.11.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

解题步骤 12.2.11.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 12.2.11.5.5

计算指数。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 12.2.12

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.12.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})$

解题步骤 12.2.12.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2})$

解题步骤 12.2.13

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.13.1

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2})$

解题步骤 12.2.13.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$

解题步骤 12.2.14

乘以 $\frac{9}{2} (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.14.1

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$ 。

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.14.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

解题步骤 12.2.15

最终答案为 $- \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$ 。

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

解题步骤 13

计算在 $x = 6$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 {((6) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 14.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

约去公因数。

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 14.2.2

重写表达式。

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

解题步骤 14.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0}$

解题步骤 14.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

解题步骤 14.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

解题步骤 14.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 15

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 15.2

将区间 $(- \infty, \frac{9}{2})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{2 (2 (0) - 9)}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.1

从 $2 (2 (0) - 9)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.2.1

从 $3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 ({((0) - 6)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 15.2.2.2.2

约去公因数。

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2.2.3

重写表达式。

$f' (0) = \frac{2 (2 \cdot (0) - 3)}{{((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{2 (0 - 3)}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2.3.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.4.1

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (0) = \frac{- 6}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 ${(- 6)}^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$f' (0) = - 6 {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 15.2.2.6

通过指数相加将 $- 6$ 乘以 ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.6.1

将 $- 6$ 乘以 ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.6.1.1

对 $- 6$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (0) = (- 6) {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 15.2.2.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (0) = {(- 6)}^{1 - \frac{2}{3}}$

解题步骤 15.2.2.6.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

解题步骤 15.2.2.6.3

在公分母上合并分子。

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3 - 2}{3}}$

解题步骤 15.2.2.6.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 15.2.2.7

最终答案为 ${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 15.3

将区间 $(\frac{9}{2}, 6)$ 内的任一数字（例如 $5$ ）代入一阶导数 $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.3.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = \frac{2 (2 (5) - 9)}{3 {((5) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.3.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (5) = \frac{2 (10 - 9)}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3.2.1.2

从 $10$ 中减去 $9$ 。

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.3.2.2.1

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3.2.2.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3.2.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 15.3.2.2.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.3.2.2.4.1

约去公因数。

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 15.3.2.2.4.2

重写表达式。

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 15.3.2.2.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

解题步骤 15.3.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.3.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (5) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

解题步骤 15.3.2.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (5) = \frac{2}{3}$

解题步骤 15.3.2.4

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 15.4

将区间 $(6, \infty)$ 内的任一数字（例如 $8$ ）代入一阶导数 $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.4.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f' (8) = \frac{2 (2 (8) - 9)}{3 {((8) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.4.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f' (8) = \frac{2 (16 - 9)}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.1.2

从 $16$ 中减去 $9$ 。

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.4.2.2.1

从 $8$ 中减去 $6$ 。

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.2.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f' (8) = \frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.3

最终答案为 $\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.5

由于一阶导数在 $x = \frac{9}{2}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{9}{2}$ 是极小值。

$x = \frac{9}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15.6

由于一阶导数在 $x = 6$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 15.7

这些是 $f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$ 的局部极值。

$x = \frac{9}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 16

微积分学 示例

微积分学示例