微积分学示例

$x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1

将 $x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 25$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 25$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x^{2} + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [25]) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.11.3

组合 $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.15

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.15.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.15.2

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.15.3

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 2.17

将 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.18

要将 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.19

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.20

通过指数相加将 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.20.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.20.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.20.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.20.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{1}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.21

化简 ${(x^{2} + 25)}^{1}$ 。

$\frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.22

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{2} + 25$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $2 x^{2} + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.4.5

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $4$ 移到 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 25$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 25$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.5.3

使用 $x^{2} + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.9

化简分子。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.10

合并分数。

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解题步骤 3.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.11

根据加法法则， $x^{2} + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.13

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.14

化简项。

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解题步骤 3.14.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.14.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.14.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.14.4

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.14.5

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15

化简。

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解题步骤 3.15.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2

化简分子。

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解题步骤 3.15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.15.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.2

将 $- 2 x^{2} - 25$ 乘以 $\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.3

要将 $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.4

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5

以因式分解的形式重写 $\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 3.15.2.5.1

从 $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.15.2.5.1.1

从 $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.1.2

从 $(- 2 x^{2} - 25) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.1.3

从 $x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.2

通过指数相加将 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.15.2.5.2.1

移动 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.3

化简 $4 {(x^{2} + 25)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 25 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.5

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 100 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.6

从 $4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 100 - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.2.5.7

从 $100$ 中减去 $25$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.3

合并项。

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解题步骤 3.15.3.1

将 $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 25}$

解题步骤 3.15.3.2

将 $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 25}$ 。

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

解题步骤 3.15.3.3

通过指数相加将 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 25$ 。

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解题步骤 3.15.3.3.1

将 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 25$ 。

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解题步骤 3.15.3.3.1.1

对 $x^{2} + 25$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

解题步骤 3.15.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 3.15.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.15.3.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 3.15.3.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 6

不存在局部极值

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例