微积分学示例

$y = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

解题步骤 1

将 $y = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{3})]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{3})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + \frac{π}{3}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{3}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $x + \frac{π}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} (\cos (x + \frac{π}{3}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\cos (x + \frac{π}{3})$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{\cos (x + \frac{π}{3}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}]$

解题步骤 2.3.2

将 $3$ 移到 $\cos (x + \frac{π}{3})$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot \cos (x + \frac{π}{3})}{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}]$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x + \frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}]$ 。

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}])$

解题步骤 2.3.5

因为 $\frac{π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (1 + 0)$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot 1$

解题步骤 2.3.6.2

将 $\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{3})]$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x + \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + \frac{π}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.2.3

使用 $x + \frac{π}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (x + \frac{π}{3}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sin (x + \frac{π}{3})$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x + \frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{3}))$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{3}))$

解题步骤 3.3.4

因为 $\frac{π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} = 0$

解题步骤 5

将分子设为等于零。

$3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.1

将 $3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1

将 $3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.1.2.1.2

用 $\cos (x + \frac{π}{3})$ 除以 $1$ 。

$\cos (x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\cos (x + \frac{π}{3}) = 0$

解题步骤 6.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x + \frac{π}{3} = \arccos (0)$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.4.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.4.3

要将 $- \frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.4.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.4.4.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.4.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.4.4.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 6.4.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

解题步骤 6.4.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

解题步骤 6.4.6

化简分子。

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解题步骤 6.4.6.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

解题步骤 6.4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

解题步骤 6.4.6.3

从 $3 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 6.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x + \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.6.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x + \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.6.1.2

合并分数。

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解题步骤 6.6.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.6.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.6.1.3

化简分子。

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解题步骤 6.6.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x + \frac{π}{3} = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.6.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.6.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.6.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.6.2.2

要将 $\frac{3 π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.6.2.3

要将 $- \frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.6.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.6.2.4.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.6.2.4.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 6.6.2.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

解题步骤 6.6.2.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

解题步骤 6.6.2.6

化简分子。

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解题步骤 6.6.2.6.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

解题步骤 6.6.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{9 π - 2 π}{6}$

解题步骤 6.6.2.6.3

从 $9 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 6.7

方程 $x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

解题步骤 7

计算在 $x = \frac{π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3 \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

解题步骤 8

计算二阶导数。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

解题步骤 8.1.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

解题步骤 8.1.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

解题步骤 8.1.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{3 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})}{2}$

解题步骤 8.1.4

化简分子。

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解题步骤 8.1.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{3 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

解题步骤 8.1.4.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{6})}{2}$

解题步骤 8.1.5

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.5.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (π)}{6})}{2}$

解题步骤 8.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.1.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

解题步骤 8.1.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

解题步骤 8.1.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 8.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{3 \cdot 1}{2}$

解题步骤 8.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{6}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{6}$ 是一个极大值

解题步骤 10

求 $x = \frac{π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $\frac{π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 10.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

解题步骤 10.2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

解题步骤 10.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})$

解题步骤 10.2.4

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})$

解题步骤 10.2.4.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{6})$

解题步骤 10.2.5

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.5.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (π)}{6})$

解题步骤 10.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

解题步骤 10.2.5.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

解题步骤 10.2.5.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.2.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 10.2.7

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

解题步骤 10.2.8

最终答案为 $\frac{3}{2}$ 。

$y = \frac{3}{2}$

解题步骤 11

计算在 $x = \frac{7 π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3 \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

解题步骤 12.1.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 12.1.2.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

解题步骤 12.1.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

解题步骤 12.1.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})}{2}$

解题步骤 12.1.4

化简分子。

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解题步骤 12.1.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

解题步骤 12.1.4.2

将 $7 π$ 和 $2 π$ 相加。

$- \frac{3 \sin (\frac{9 π}{6})}{2}$

解题步骤 12.1.5

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.5.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{2}$

解题步骤 12.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 12.1.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{2}$

解题步骤 12.1.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{2}$

解题步骤 12.1.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 12.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

解题步骤 12.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{2}$

解题步骤 12.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 12.2

化简表达式。

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解题步骤 12.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- 3}{2}$

解题步骤 12.2.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{3}{2}$

解题步骤 12.3

乘以 $- - \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 12.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.3.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{7 π}{6}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{7 π}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 14

求 $x = \frac{7 π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 14.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 14.2.2.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

解题步骤 14.2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

解题步骤 14.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})$

解题步骤 14.2.4

化简分子。

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解题步骤 14.2.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})$

解题步骤 14.2.4.2

将 $7 π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{9 π}{6})$

解题步骤 14.2.5

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

解题步骤 14.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

解题步骤 14.2.5.2.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

解题步骤 14.2.5.2.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.2.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 14.2.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 14.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot - 1$

解题步骤 14.2.9

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 14.2.9.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 14.2.9.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 14.2.10

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 14.2.11

最终答案为 $- \frac{3}{2}$ 。

$y = - \frac{3}{2}$

解题步骤 15

这些是 $f (x) = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ 的局部极值。

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ 是一个局部最大值

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ 是一个局部最小值

解题步骤 16

微积分学 示例

微积分学示例