微积分学示例

$y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.11

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.14

化简表达式。

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解题步骤 2.2.14.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ 。

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.5

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.6

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.7

将 $- 15 x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.8

将 $6 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.6

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.7.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

合并 $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从 $6 x^{3}$ 中减去 $6 x^{3}$ 。

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.3

将 $- 15 x^{6}$ 和 $6 x^{6}$ 相加。

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $- x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

重新排序项。

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

从 $- 9 x^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.6

从 $- 15 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.7

从 $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.8

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.9

从 $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.10

从 $6 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.11

从 $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.12

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.13

从 $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.14

将 $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ 重写为 $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (9 x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.5

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.6

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.8

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.12

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.14

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.15

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + 0) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.16

将 $54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.2.2

从 $- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.2.3

从 $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.6

约去公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.12

化简表达式。

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解题步骤 3.12.1

将 $\frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

解题步骤 3.12.2

将 $- \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13

化简。

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解题步骤 3.13.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) + (- 4 (9 x^{6}) - 4 (15 x^{4}) - 4 (- x^{2}) - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3

化简分子。

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解题步骤 3.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.3.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (54 x^{5}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.13.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} x^{5} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.2.2.1

移动 $x^{5}$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 (x^{5} x^{2}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{5 + 2} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.2.3

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.2.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{3 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.4.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.2.6.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.13.3.1.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.7

将 $- 6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.8

将 $54 x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.9

将 $60 x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.10

将 $- 2 x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.11

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.3

将 $60 x^{5}$ 和 $54 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.4

将 $- 2 x^{3}$ 和 $60 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.5

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{1 + 6}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.5.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{7}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.6

将 $9$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.7

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.7.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{1 + 4}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.7.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{5}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.8

将 $15$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.9

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.9.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.9.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{1 + 2}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.9.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{3}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.10

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.11.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.11.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x^{2}) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.12

将 $- 6$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.1.13

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.2

从 $54 x^{7}$ 中减去 $36 x^{7}$ 。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.3

从 $114 x^{5}$ 中减去 $60 x^{5}$ 。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.4

将 $58 x^{3}$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.5

将 $- 6 x^{2}$ 和 $24 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 2 x - 6 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.3.6

从 $- 2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4

从 $18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.13.4.1

从 $18 x^{7}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.2

从 $54 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.3

从 $62 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.4

从 $18 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.5

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.6

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.7

从 $2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.8

从 $2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.9

从 $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.10

从 $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.13.4.11

从 $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

求微分。

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解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.4

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.11

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.14

化简表达式。

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解题步骤 5.1.2.14.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.3.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ 。

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1.2.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.5

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.6

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.7

将 $- 15 x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.8

将 $6 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.3.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.6

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1.7.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.1.8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.2

合并 $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.3.3.2.1

从 $6 x^{3}$ 中减去 $6 x^{3}$ 。

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.2.2

将 $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.3

将 $- 15 x^{6}$ 和 $6 x^{6}$ 相加。

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3.4

将 $- x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.4

重新排序项。

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.5

从 $- 9 x^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.6

从 $- 15 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.7

从 $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.8

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.9

从 $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.10

从 $6 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.11

从 $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.12

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.13

从 $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.14

将 $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ 重写为 $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.15

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 6.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 0.16402146, 0.64778788$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0.16402146, 0.64778788$

解题步骤 9

计算在 $x = 0.16402146$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 (9 {(0.16402146)}^{7} + 27 {(0.16402146)}^{5} + 31 {(0.16402146)}^{3} + 9 {(0.16402146)}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({(0.16402146)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

对 $0.16402146$ 进行 $7$ 次方运算。

$- \frac{2 (9 \cdot 0.00000319 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.2

将 $9$ 乘以 $0.00000319$ 。

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.3

对 $0.16402146$ 进行 $5$ 次方运算。

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot 0.00011871 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.4

将 $27$ 乘以 $0.00011871$ 。

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.5

对 $0.16402146$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot 0.00441267 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.6

将 $31$ 乘以 $0.00441267$ 。

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.7

对 $0.16402146$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot 0.02690304 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.8

将 $9$ 乘以 $0.02690304$ 。

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.9

将 $- 3$ 乘以 $0.16402146$ 。

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.10

将 $0.00002874$ 和 $0.00320528$ 相加。

$- \frac{2 (0.00323403 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.11

将 $0.00323403$ 和 $0.13679296$ 相加。

$- \frac{2 (0.140027 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.12

将 $0.140027$ 和 $0.24212737$ 相加。

$- \frac{2 (0.38215438 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.13

从 $0.38215438$ 中减去 $0.4920644$ 。

$- \frac{2 (- 0.10991002 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.1.14

从 $- 0.10991002$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

对 $0.16402146$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{(0.02690304 + 1)}^{3}}$

解题步骤 10.2.2

将 $0.02690304$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{1.02690304}^{3}}$

解题步骤 10.2.3

对 $1.02690304$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{1.08289991}$

解题步骤 10.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3.10991002$ 。

$- \frac{- 6.21982004}{1.08289991}$

解题步骤 10.3.2

用 $- 6.21982004$ 除以 $1.08289991$ 。

$- - 5.74367024$

解题步骤 10.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5.74367024$ 。

$5.74367024$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0.16402146$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0.16402146$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 0.16402146$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $0.16402146$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.16402146) = \frac{- 3 {(0.16402146)}^{5} + 3 {(0.16402146)}^{2} - (0.16402146)}{{(0.16402146)}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简分子。

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解题步骤 12.2.1.1

对 $0.16402146$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (0.16402146) = \frac{- 3 \cdot 0.00011871 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0.00011871$ 。

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2.1.3

对 $0.16402146$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot 0.02690304 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2.1.4

将 $3$ 乘以 $0.02690304$ 。

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0.16402146$ 。

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2.1.6

将 $- 0.00035614$ 和 $0.08070912$ 相加。

$f (0.16402146) = \frac{0.08035298 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2.1.7

从 $0.08035298$ 中减去 $0.16402146$ 。

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{{0.16402146}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.2.1

对 $0.16402146$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{0.02690304 + 1}$

解题步骤 12.2.2.2

将 $0.02690304$ 和 $1$ 相加。

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{1.02690304}$

解题步骤 12.2.3

用 $- 0.08366848$ 除以 $1.02690304$ 。

$f (0.16402146) = - 0.08147651$

解题步骤 12.2.4

最终答案为 $- 0.08147651$ 。

$y = - 0.08147651$

解题步骤 13

计算在 $x = 0.64778788$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 (9 {(0.64778788)}^{7} + 27 {(0.64778788)}^{5} + 31 {(0.64778788)}^{3} + 9 {(0.64778788)}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({(0.64778788)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

对 $0.64778788$ 进行 $7$ 次方运算。

$- \frac{2 (9 \cdot 0.04786628 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.2

将 $9$ 乘以 $0.04786628$ 。

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.3

对 $0.64778788$ 进行 $5$ 次方运算。

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot 0.11406806 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.4

将 $27$ 乘以 $0.11406806$ 。

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.5

对 $0.64778788$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot 0.27183067 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.6

将 $31$ 乘以 $0.27183067$ 。

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.7

对 $0.64778788$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot 0.41962913 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.8

将 $9$ 乘以 $0.41962913$ 。

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.9

将 $- 3$ 乘以 $0.64778788$ 。

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.10

将 $0.43079657$ 和 $3.07983788$ 相加。

$- \frac{2 (3.51063445 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.11

将 $3.51063445$ 和 $8.42675077$ 相加。

$- \frac{2 (11.93738522 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.12

将 $11.93738522$ 和 $3.77666224$ 相加。

$- \frac{2 (15.71404747 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.13

从 $15.71404747$ 中减去 $1.94336364$ 。

$- \frac{2 (13.77068382 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.1.14

从 $13.77068382$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

对 $0.64778788$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{(0.41962913 + 1)}^{3}}$

解题步骤 14.2.2

将 $0.41962913$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{1.41962913}^{3}}$

解题步骤 14.2.3

对 $1.41962913$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{2.86104516}$

解题步骤 14.3

化简表达式。

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解题步骤 14.3.1

将 $2$ 乘以 $10.77068382$ 。

$- \frac{21.54136765}{2.86104516}$

解题步骤 14.3.2

用 $21.54136765$ 除以 $2.86104516$ 。

$- 1 \cdot 7.52919523$

解题步骤 14.3.3

将 $- 1$ 乘以 $7.52919523$ 。

$- 7.52919523$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0.64778788$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0.64778788$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 0.64778788$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $0.64778788$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.64778788) = \frac{- 3 {(0.64778788)}^{5} + 3 {(0.64778788)}^{2} - (0.64778788)}{{(0.64778788)}^{2} + 1}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简分子。

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解题步骤 16.2.1.1

对 $0.64778788$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (0.64778788) = \frac{- 3 \cdot 0.11406806 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

解题步骤 16.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0.11406806$ 。

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

解题步骤 16.2.1.3

对 $0.64778788$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot 0.41962913 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

解题步骤 16.2.1.4

将 $3$ 乘以 $0.41962913$ 。

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

解题步骤 16.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0.64778788$ 。

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

解题步骤 16.2.1.6

将 $- 0.3422042$ 和 $1.25888741$ 相加。

$f (0.64778788) = \frac{0.9166832 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

解题步骤 16.2.1.7

从 $0.9166832$ 中减去 $0.64778788$ 。

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{{0.64778788}^{2} + 1}$

解题步骤 16.2.2

化简分母。

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解题步骤 16.2.2.1

对 $0.64778788$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{0.41962913 + 1}$

解题步骤 16.2.2.2

将 $0.41962913$ 和 $1$ 相加。

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{1.41962913}$

解题步骤 16.2.3

用 $0.26889532$ 除以 $1.41962913$ 。

$f (0.64778788) = 0.18941237$

解题步骤 16.2.4

最终答案为 $0.18941237$ 。

$y = 0.18941237$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ 的局部极值。

$(0.16402146, - 0.08147651)$ 是一个局部最小值

$(0.64778788, 0.18941237)$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例